Правильный многоугольник
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. К правильным многоугольникам относятся, например, равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
У любого правильного многоугольника есть центр — точка, равноудалённая от всех вершин и всех сторон. Вокруг многоугольника можно описать окружность: она проходит через все его вершины. Её радиус \(R\) называют радиусом описанной окружности. В многоугольник также можно вписать окружность, касающуюся всех его сторон; её радиус \(r\) называют апофемой, или радиусом вписанной окружности.
Основные формулы
Если \(n\) — число сторон, \(a\) — сторона, \(R\) — радиус описанной окружности, а \(r\) — апофема, то внутренний угол можно найти по формуле угла правильного многоугольника. Она следует из суммы углов многоугольника.
Также связаны радиусы и сторона: \(a=2R\sin\frac{180^\circ}{n}\). Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему: \(S=\frac{Pr}{2}\).
Найдём внутренний угол правильного шестиугольника. Подставим \(n=6\): \(\alpha=\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=120^\circ\). Значит, каждый его внутренний угол равен \(120^\circ\).
Равенство только сторон ещё не доказывает, что многоугольник правильный: у него должны быть равны и все углы. Например, ромб обычно не является правильным многоугольником, хотя все его стороны равны.
Чему равен каждый внутренний угол правильного восьмиугольника?
Главное
- Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные внутренние углы.
- Для \(n\) сторон: \(\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}\) и \(P=na\).
- Радиус описанной окружности — \(R\), радиус вписанной окружности, или апофема, — \(r\); площадь равна \(S=\frac{Pr}{2}\).