Площадь правильного многоугольника
Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему — радиус вписанной окружности. Эта формула позволяет найти площадь, если известны периметр и расстояние от центра до стороны.
Формула площади
В правильном многоугольнике все стороны и углы равны. Его центр соединяют с вершинами и получают равные треугольники. Высота каждого такого треугольника равна апофеме \(r\), а сумма их оснований равна периметру \(P\). Поэтому используется формула:
Апофема перпендикулярна стороне многоугольника и является радиусом вписанной окружности. Если известны длина стороны \(a\) и число сторон \(n\), сначала находят периметр: \(P=na\), затем подставляют его в формулу площади.
Правильный шестиугольник имеет периметр \(24\) см, а радиус вписанной окружности равен \(\sqrt{3}\) см. Тогда \(S=\frac{1}{2}\cdot24\cdot\sqrt{3}=12\sqrt{3}\) см².
Апофема — это не сторона и не радиус описанной окружности. В правильном многоугольнике апофема равна радиусу вписанной окружности и измеряет расстояние от центра до стороны. Для разбиения многоугольника на треугольники используется именно она. При выводе формулы помогает площадь треугольника.
Периметр правильного многоугольника равен \(18\) см, апофема — \(4\) см. Чему равна его площадь?
Главное
- Площадь правильного многоугольника вычисляют по формуле \(S=\frac{1}{2}Pr\).
- \(P\) — периметр, а \(r\) — апофема, то есть радиус вписанной окружности.
- Если известны сторона и число сторон, сначала находят периметр по формуле \(P=na\).