Решение: Биссектриса и медиана треугольника
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $28$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\varphi$. Разместим точку $B$ в начале координат, а биссектрису $BE$ направим вдоль оси абсцисс. Тогда можно записать:
$$A=(c\cos\varphi,c\sin\varphi),\quad C=(a\cos\varphi,-a\sin\varphi)$$Так как $D$ — середина отрезка $BC$, её координаты равны:
$$D=\left(\frac{a\cos\varphi}{2},-\frac{a\sin\varphi}{2}\right)$$Вектор $\overrightarrow{AD}$ имеет координаты $\left(\left(\frac a2-c\right)\cos\varphi,-\left(\frac a2+c\right)\sin\varphi\right)$. Поскольку $AD\perp BE$, его горизонтальная координата равна нулю. Следовательно:
$$\frac a2-c=0\quad\Rightarrow\quad a=2c$$При $a=2c$ длина медианы $AD$ равна $2c\sin\varphi$. По условию $AD=28$, поэтому:
$$2c\sin\varphi=28\quad\Rightarrow\quad c\sin\varphi=14$$Точка $E$ лежит на биссектрисе. По теореме о биссектрисе $AE:EC=AB:BC=1:2$, поэтому $E=\frac{2A+C}{3}$. Следовательно, $BE=\frac{4c\cos\varphi}{3}$. Используя $BE=28$, получаем:
$$\frac{4c\cos\varphi}{3}=28\quad\Rightarrow\quad c\cos\varphi=21$$Из равенства $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$ находим сторону $AB$:
$$c^2=(c\sin\varphi)^2+(c\cos\varphi)^2=14^2+21^2=637\quad\Rightarrow\quad c=7\sqrt{13}$$Тогда $BC=2c=14\sqrt{13}$. Для нахождения $AC$ используем координаты точек $A$ и $C$ или теорему косинусов. Разность координат даёт катеты длиной $21$ и $42$, поэтому:
$$AC=\sqrt{21^2+42^2}=21\sqrt5$$AB=7\sqrt{13},\quad BC=14\sqrt{13},\quad AC=21\sqrt5
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать теорему о биссектрисе и перепутать отношение $AE:EC$.
Забыть, что медиана $AD$ проводится к стороне $BC$, поэтому $D$ — середина $BC$.
При вычислении длины $AC$ потерять множитель $3$ в вертикальной разности координат.