Решение: Расстояние до ортоцентра
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$. $AD = 80$, $MD = 64$, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $DB = x$, $DC = y$. Поскольку $BC$ является диаметром полуокружности, а точки $D$ и $M$ лежат на секущей, проходящей через центр окружности, получаем
$$DB \cdot DC = DM^2$$Подставим известное значение $DM$:
$$xy = 64^2 = 4096$$Рассмотрим высоту $BH$, пересекающую $AD$ в точке $H$. Из подобия прямоугольных треугольников, образованных высотами, следует соотношение
$$AD \cdot DH = DB \cdot DC$$Найдём длину $DH$:
$$DH = \frac{DB \cdot DC}{AD} = \frac{4096}{80} = 51{,}2$$Так как точка $H$ лежит между $A$ и $D$, то
$$AH = AD - DH = 80 - 51{,}2 = 28{,}8$$28,8
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Вычитают из $AD$ длину $MD$, не используя свойство окружности.
Путают произведение $DB \cdot DC$ с суммой $DB + DC$.
Не учитывают, что ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.