Решение: Диаметр описанной окружности
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 8$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $129^\circ$ и $96^\circ$.
Решение по шагам
6 шаговТак как $M$ — середина стороны $AD$, то $MA=MD$. Поскольку точка $M$ равноудалена от всех вершин, имеем $MA=MB=MC=MD$. Следовательно, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности с центром $M$, а $AD$ является её диаметром.
$$AD=2R$$Угол $ACD$ опирается на диаметр $AD$, поэтому он прямой.
$$\angle ACD=90^\circ$$Диагональ $AC$ делит угол $C$ четырёхугольника на углы $BCA$ и $ACD$. Поэтому
$$\angle BCA=96^\circ-90^\circ=6^\circ$$В треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ равен углу $ABC=129^\circ$. Тогда
$$\angle BAC=180^\circ-129^\circ-6^\circ=45^\circ$$Сторона $BC$ является хордой окружности, а угол $BAC$ — вписанный угол, опирающийся на эту хорду. Поэтому длина хорды равна произведению диаметра на синус вписанного угла.
$$BC=AD\sin\angle BAC$$Подставим известные значения и найдём длину диаметра.
$$8=AD\sin45^\circ=AD\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\quad AD=8\sqrt{2}$$AD=8\sqrt{2}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, что точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности.
Забывают, что $AD$ является диаметром, а не просто хордой.
Неверно находят угол $BCA$, не учитывая прямой угол $ACD$.
Используют длину хорды без учёта угла, на который она опирается.