Решение: Площадь параллелограмма по биссектрисам
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC=12$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $9$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим высоту параллелограмма, опущенную на сторону $AB$, через $h$, а угол между сторонами $AB$ и $AD$ — через $\alpha$. Тогда $h=BC\sin\alpha$.
Биссектриса угла $A$ образует с прямой $AB$ угол $\dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $B$ образует с прямой $AB$ угол $90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}$, так как соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$.
Пусть $AB=a$. Из равенства высот точки пересечения биссектрис относительно соответствующих сторон или из координатного представления следует, что расстояние от $K$ до $AB$ равно половине произведения основания на синус угла $\alpha$: $d(K,AB)=\dfrac{a\sin\alpha}{2}$.
По условию $d(K,AB)=9$, поэтому $a\sin\alpha=18$.
Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними: $S=AB\cdot BC\cdot\sin\alpha=a\cdot12\sin\alpha=12(a\sin\alpha)$.
Подставляем найденное значение: $S=12\cdot18=216$.
Площадь параллелограмма равна $216$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно полной высоте параллелограмма.
Забывать, что площадь равна $AB\cdot BC\cdot\sin\alpha$.
Использовать длину $BC=12$ как высоту без умножения на синус угла.