В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=12$.
- 1
Расположим $AC$ на оси абсцисс: $A=(0,0)$, $C=(12,0)$, $B=(u,v)$. Высота из точки $B$ перпендикулярна $AC$, поэтому её основание имеет координаты $(u,0)$. Так как биссектриса делит высоту в отношении $5:4$, считая от точки $B$, точка их…
- 2
Расстояние от точки $D$ до стороны $AC$ равно $\dfrac{4v}{9}$. Так как $D$ лежит на биссектрисе угла $A$, расстояние от $D$ до стороны $AB$ такое же. Вычисление расстояния до прямой $AB$ даёт $\dfrac{5uv}{9AB}=\dfrac{4v}{9}$, откуда…
Ещё 4 шага — в полном решении
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим половину второй диагонали ромба через $x$. Тогда половина известной диагонали равна $34$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому сторона ромба равна$$a=\sqrt{34^2+x^2}$$
- 2
Площадь ромба можно выразить через диагонали:$$S=\frac{68\cdot 2x}{2}=68x$$
Ещё 4 шага — в полном решении
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=6$.
- 1
Обозначим через $D$ основание высоты, проведённой из вершины $B$ на сторону $AC$, а через $E$ — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла $A$. По условию $BE:ED=5:4$, поэтому $BE:BD=5:9$.
- 2
Пусть $\angle BAC=2\alpha$. Рассмотрим проекцию точки $B$ на сторону $AC$. Из условия деления высоты точкой $E$ и из прямоугольного треугольника, образованного высотой, следует соотношение $\cos 2\alpha=\dfrac{4}{5}$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65^\circ$ и $80^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на два угла, поэтому$$\angle ABC=65^\circ+80^\circ=145^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A=\angle C=180^\circ-145^\circ=35^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30^\circ$ и $135^\circ$, а $CD = 29$.
- 1
Так как основания трапеции параллельны, высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны $CD$. Угол между стороной $CD$ и основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.$$h = CD \cdot \sin 45^\circ$$
- 2
Подставим длину стороны $CD$ и найдём высоту трапеции.$$h = 29 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{29\sqrt{2}}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65^\circ$ и $50^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $B$ параллелограмма на два угла.$$\angle B = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$, поэтому меньший угол равен:$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$
В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $62^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому$$\angle BAD = \angle CDA = 62^\circ$$
- 2
Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит$$\angle CAD = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 18$, $DC = 54$, $AC = 48$.
- 1
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Углы $MAB$ и $MCD$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$.$$\angle AMB = \angle CMD,\quad \angle MAB = \angle MCD$$
- 2
Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 15$, $DC = 30$, $AC = 39$.
- 1
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Углы $ABM$ и $CDM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$.
- 2
Следовательно, треугольники $AMB$ и $CMD$ подобны по двум углам. Соответствующие стороны пропорциональны:$$\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{AB}{DC}$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $50^\circ$ и $85^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $B$ на два угла, равные $50^\circ$ и $85^\circ$.$$\angle B = 50^\circ + 85^\circ = 135^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма в сумме равны $180^\circ$.$$\angle A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
- 1
Обозначим второй катет через $b$. По теореме Пифагора:$$b^2+20^2=52^2$$
- 2
Находим второй катет:$$b=\sqrt{52^2-20^2}=\sqrt{2704-400}=\sqrt{2304}=48$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $64^\circ$ и $86^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $13$.
- 1
Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-64^\circ-86^\circ=30^\circ$$
- 2
По теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$, если $AB = 40$, $CD = 42$, а расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно 21.
- 1
Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Поэтому половина хорды $AB$ равна $20$.$$\frac{AB}{2}=\frac{40}{2}=20$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.$$R^2=21^2+20^2=441+400=841,\quad R=29$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $150^\circ$, а $CD = 32$.
- 1
Так как $AB$ и $CD$ — боковые стороны трапеции, её основания $AD$ и $BC$ параллельны.
- 2
Опустим из вершины $D$ перпендикуляр на основание $BC$. В получившемся прямоугольном треугольнике угол между $CD$ и основанием равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Ещё 3 шага — в полном решении
Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 20$, $BF = 15$.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому углы $A$ и $B$, прилежащие к боковой стороне $AB$, являются односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам этих углов. Следовательно, угол при вершине $F$ прямой.$$\angle AFB = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, где $a>b$, боковая сторона равна $c$, а высота равна $h$. Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем:$$a+b+2c=180$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 3$, $AC = 12$.
- 1
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.$$AB^2 = AH \cdot AC$$
- 2
Подставим известные значения.$$AB^2 = 3 \cdot 12 = 36$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…
- 1
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$. Ось $Ox$ направим вдоль $BA$, а ось $Oy$ — вдоль $BC$. Пусть $H=(x,y)$. Тогда длина высоты равна$$BH=\sqrt{x^2+y^2}$$
- 2
Окружность с диаметром $BH$ состоит из точек $X$, для которых угол $BXH$ прямой. Для точки $P$, лежащей на оси $Ox$, имеем $P=(p,0)$. Условие перпендикулярности векторов $\overrightarrow{BP}$ и $\overrightarrow{HP}$ даёт $p(p-x)=0$. Так…
Ещё 3 шага — в полном решении
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найдите $MC$, если $AB = 11$, $DC = 55$, $AC = 30$.
- 1
Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$. Угол $AMB$ равен углу $CMD$ как вертикальные углы. Кроме того, углы $MAB$ и $MCD$ равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ секущей $AC$.$$\triangle AMB \sim \triangle CMD$$
- 2
Из подобия треугольников получаем пропорцию для соответствующих сторон:$$\frac{AM}{MC}=\frac{AB}{DC}=\frac{11}{55}=\frac{1}{5}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$…
- 1
Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$. Поэтому по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, углы $BPH$ и $BKH$ прямые.$$\angle BPH = \angle BKH = 90^\circ$$
- 2
Так как $AB \perp BC$, из $PH \perp AB$ следует $PH \parallel BC$, а из $KH \perp BC$ следует $KH \parallel AB$.
Ещё 2 шага — в полном решении