В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $82^\circ$. Найдите угол $ACD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В ромбе соседние углы supplementary, поэтому найдём угол $BCD$:$$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$$
- 2
Диагональ $AC$ делит угол ромба $C$ пополам:$$\angle ACD = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{98^\circ}{2} = 49^\circ$$
В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.
- 1
В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на две боковые части.$$x = \dfrac{8-4}{2} = 2$$
- 2
В образовавшемся прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$, поэтому катеты равны. Высота трапеции равна $2$.$$h = 2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Острый угол ромба равен $36^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
- 1
Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$. Поэтому тупой угол ромба равен:$$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$
- 2
Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам. Следовательно, угол между стороной и меньшей диагональю равен:$$\dfrac{144^\circ}{2} = 72^\circ$$
Диагональ прямоугольника образует угол $86^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
- 1
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому угол между диагональю и другой стороной равен$$90^\circ - 86^\circ = 4^\circ$$
- 2
Диагонали симметричны относительно оси прямоугольника. Поэтому острый угол между ними в два раза больше найденного угла.$$2 \cdot 4^\circ = 8^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы $28^\circ$ и $82^\circ$. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
- 1
Пусть угол при большем основании равен $x$. Благодаря равенству боковых сторон углы при каждом основании равны, а углы при разных основаниях в сумме дают $180^\circ$.$$2x + (82^\circ - 28^\circ) = 180^\circ$$
- 2
Вычислим угол:$$2x = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ,\quad x = 63^\circ$$
Основания трапеции равны 7 и 21, а высота равна 6. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим длины оснований в формулу:$$m = \dfrac{7+21}{2} = 14$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 16 и 17. Найдите длину основания $BC$.
- 1
В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому высота из вершины $C$ делит основание $AD$ на отрезки, разность длин которых равна длине меньшего основания $BC$.$$BC = 17 - 16$$
- 2
Вычисляем длину основания $BC$.$$BC = 1$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $16^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $16^\circ$.$$∠(\text{биссектриса } A, AD)=16^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ на два равных угла.$$\angle A = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$$
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 5.
- 1
В равнобедренной трапеции диагональ соединяет левую вершину меньшего основания с правой вершиной большего основания. Её горизонтальная проекция равна полусумме оснований.$$x=\dfrac{3+5}{2}=4$$
- 2
Диагональ образует с основанием угол $45^\circ$, поэтому в образовавшемся прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению высоты к горизонтальной проекции диагонали.$$\tan 45^\circ=\dfrac{h}{4}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $72°$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
Углы при боковой стороне трапеции, пересекающей параллельные основания, являются односторонними и в сумме равны $180°$.$$\alpha + \beta = 180°$$
- 2
Если один из этих углов равен $72°$, то другой угол равен:$$\beta = 180° - 72° = 108°$$
Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $44^\circ$. Ответ дайте в градусах.
- 1
В параллелограмме противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $44^\circ$.$$\angle BAD/2 = 44^\circ$$
- 2
Биссектриса делит угол $A$ пополам, значит острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$$
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C$, делит основание $AD$ на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания $BC$.
- 1
Опустим высоту из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые боковыми сторонами у концов большего основания, равны.
- 2
Поэтому длина основания $BC$ равна разности двух частей основания $AD$:$$BC = 19 - 14 = 5$$
Основания трапеции равны 4 и 14, а высота равна 8. Найдите среднюю линию этой трапеции.
- 1
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Подставим значения оснований и вычислим:$$m = \dfrac{4+14}{2} = 9$$
Площадь параллелограмма равна 36, а две его стороны равны 6 и 12. Найдите его высоты. Укажите большую высоту.
- 1
Высоту параллелограмма находим по формуле площади $S = ah$.$$h = \dfrac{S}{a}$$
- 2
Для стороны длиной 6 высота равна:$$h_1 = \dfrac{36}{6} = 6$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Один из углов прямоугольной трапеции равен $82^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других являются односторонними углами при параллельных основаниях.$$180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$$
- 2
Получившийся угол больше данного угла $82^\circ$, поэтому он является большим углом трапеции.
Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 23$, $AB = 26$. Найдите $AC$.
- 1
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.$$BD = 2 \cdot BO$$
- 2
Вычислим длину диагонали $BD$:$$BD = 2 \cdot 23 = 46$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.
- 1
Сумма отрезков, на которые высота делит большее основание, равна длине большего основания:$$B=3+7=10$$
- 2
В равнобедренной трапеции боковые выступы по краям большего основания равны. Выступ равен меньшему из полученных отрезков, то есть $3$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 6$, $BD = 12$, $AB = 4$. Найдите $DO$.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезок $DO$ равен половине диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
- 2
Подставим значение диагонали $BD$:$$DO = \dfrac{12}{2} = 6$$
Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен $150^\circ$. Найдите высоту этого ромба.
- 1
Высота ромба равна произведению его стороны на синус острого угла.$$h = a\sin\alpha$$
- 2
Острый угол ромба равен $30^\circ$, так как смежные углы в ромбе в сумме дают $180^\circ$.$$\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $218^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
- 1
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Так как сумма двух углов равна $218^\circ$, это равные углы.$$218^\circ : 2 = 109^\circ$$
- 2
Соседние углы трапеции supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$. Поэтому меньший угол равен:$$180^\circ - 109^\circ = 71^\circ$$