Тапсырма 17 ОГЭ по математика: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Меньший угол ромба

Один из углов ромба равен $114°$. Найдите меньший угол этого ромба. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Соседние углы ромба являются внутренними односторонними углами при параллельных сторонах, поэтому их сумма равна $180°$.$$114° + \alpha = 180°$$
2. 2
   Находим меньший угол ромба:$$\alpha = 180° - 114° = 66°$$

Углы равнобедренной трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $46^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции два угла при каждом основании равны. Значит, углы, сумма которых равна $46^\circ$, равны:$$\alpha = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$
2. 2
   Смежные углы трапеции supplementary, поэтому больший угол равен:$$\beta = 180^\circ - 23^\circ = 157^\circ$$

Половина диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 20$, $BD = 26$, $AB = 8$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{26}{2} = 13$$

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $9$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на обе боковые стороны.$$\dfrac{9-3}{2}=3$$
2. 2
   Горизонтальная проекция диагонали состоит из меньшего основания и полученного отрезка.$$l=3+3=6$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Больший угол ромба

Один из углов ромба равен $76^\circ$. Найдите больший угол этого ромба. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   Ромб является параллелограммом, поэтому его соседние углы supplementary и в сумме составляют $180^\circ$.$$180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$$
2. 2
   Угол $104^\circ$ больше угла $76^\circ$, поэтому он является большим углом ромба.

Диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 24$, $BD = 28$, $AB = 6$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{28}{2} = 14$$

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 7 и 19, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{(7+19)\cdot 6}{2} = \dfrac{26\cdot 6}{2} = 78$$

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $29^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Диагональ ромба делит его угол пополам. Перпендикуляр к стороне образует с другой диагональю угол, равный половине острого угла ромба.$$\frac{\alpha}{2} = 29^\circ$$
2. 2
   Умножаем равенство на два и находим острый угол ромба.$$\alpha = 2 \cdot 29^\circ = 58^\circ$$

Половина диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 22$, $BD = 24$, $AB = 3$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{24}{2} = 12$$

Меньшее основание трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, образует у большего основания отрезок, равный разности оснований, делённой на 2. Поэтому меньшая часть большего основания равна боковому смещению, а разность двух…$$b = 8 - 3$$
2. 2
   Находим длину меньшего основания.$$b = 5$$

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $6\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны квадрата:$$d = 6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 6\cdot 2 = 12$$

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 3 и 5, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции:$$S = \dfrac{a+b}{2}h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{3+5}{2} \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36$$

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 12$, $AB = 18$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Найдём диагональ $BD$.$$BD = 2 \cdot 12 = 24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высоты параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

1. 1
   Высоту, проведённую к стороне длины 8, найдём по формуле площади параллелограмма.$$h_1 = \dfrac{S}{a_1} = \dfrac{48}{8} = 6$$
2. 2
   Высоту, проведённую к стороне длины 16, найдём аналогично.$$h_2 = \dfrac{S}{a_2} = \dfrac{48}{16} = 3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 13 и 23, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{13+23}{2} \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $69^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $67^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Так как основания трапеции параллельны, соседние внутренние углы при боковой стороне $CD$ supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $C$ на угол между диагональю и стороной $CD$, равный $67^\circ$, и искомый угол между диагональю и меньшим основанием $BC$.$$\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 111^\circ - 67^\circ = 44^\circ$$