Задание 25 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Расположим основание $BC$ горизонтально: пусть $B=(1,0)$, $C=(0,0)$, а $A=(a,h)$ и $D=(d,h)$. Тогда $AD\parallel BC$, а $h$ — высота трапеции.$$AB^2=(a-1)^2+h^2=100,\quad CD^2=d^2+h^2=676$$

Направление луча $DA$ задаётся единичным вектором $(1,0)$, а направление луча $DC$ — вектором $\left(-\dfrac{d}{26},-\dfrac{h}{26}\right)$. Поэтому направление биссектрисы угла $ADC$ пропорционально сумме этих векторов.$$\left(1-\dfrac{d}{26},-\dfrac{h}{26}\right)$$

Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Обозначим горизонтальную проекцию стороны $AB$ через $x$, а большее основание $AD$ через $a$.$$AB^2=x^2+h^2=40^2$$

Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $ADC$, поэтому её расстояния до прямых $AD$ и $DC$ равны. Расстояние от $M$ до $AD$ равно $\dfrac h2$. После вычисления расстояния от $M$ до $DC$ получаем:$$\frac{h(a+16)}{2\cdot 41}=\frac h2$$

Радиус вписанной окружности равен расстоянию от $O$ до $AC$, поэтому $r=5$. Введём координаты: $A=(0,0)$, $AC$ — ось $x$, тогда $O=(12,5)$, так как $AO=13$.$$12^2+5^2=13^2$$

Прямая $AB$ проходит через начало координат и касается окружности с центром $O(12,5)$ и радиусом $5$. Помимо прямой $AC$, второй касательной является прямая$$AB:\ y=\frac{120}{119}x$$

Пусть $O$ — центр окружности. Радиус окружности равен половине диаметра:$$OB = OC = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$$

Так как $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Точка $M$ — середина отрезка $AD$, следовательно, $AD$ является диаметром этой окружности.

Расположим трапецию так, чтобы $AD$ было горизонтальным. Пусть $x$ — горизонтальная проекция стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Тогда горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $34-2-x=32-x$.$$AB^2=x^2+h^2=24^2$$

Пусть углы при основании $AD$ равны $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{32-x}=1$$

Обозначим через $h$ высоту трапеции, а через $x$ — горизонтальную проекцию стороны $AB$ на основание $AD$. Тогда из $AB=20$ получаем:$$x^2+h^2=400$$

Горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $22-x$, так как разность оснований равна $33-11=22$. Из условия о сумме углов при основании $AD$ следует:$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{22-x}=1$$

Введём координаты: $A=(0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда $M=(8,0)$ и $N=(30,0)$. Середина отрезка $MN$ имеет координаты $(19,0)$, поэтому центр окружности имеет вид $O=(19,k)$.$$R^2=(19-8)^2+k^2=121+k^2$$

Так как $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin\angle BAC=\dfrac{1}{4}$. Направляющий единичный вектор луча $AB$ можно взять равным $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{4},\dfrac14\right)$.

Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=7$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AC$. В прямоугольном треугольнике $AOH$ имеем:$$AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24$$

Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=5$.

Прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Точка $O$ находится между ними, поэтому расстояние между этими прямыми, то есть высота параллелограмма к основанию $BC$, равно$$h=9+5=14$$

Расположим начало координат в точке $A$, а ось $x$ направим вдоль стороны $AC$. Тогда $M=(12,0)$ и $N=(21,0)$. Середина отрезка $MN$ имеет координаты $\left(\dfrac{33}{2},0\right)$, поэтому центр окружности имеет вид…

Радиус окружности равен расстоянию от центра до точки $M$:$$R^2=\left(\frac{33}{2}-12\right)^2+y^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2+y^2$$

Обозначим $BC = a$, тогда $AC = 2a$, а $AB = b$.

По теореме о степени точки $A$ для двух секущих $ABK$ и $ACP$ имеем:$$AK \cdot AB = AP \cdot AC$$

Обозначим $AB=c$, $BC=a$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Введём координаты так, чтобы биссектриса $BE$ совпадала с осью абсцисс, а точка $B$ имела координаты $(0,0)$. Тогда можно записать:$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$

Пусть $D$ — середина стороны $BC$. Тогда:$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},-\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$

Введём координаты: $D=(0;0)$, $A=(0;9)$. Так как $MD=6$ и точка $M$ лежит на отрезке $AD$, получаем $AM=9-6=3$, поэтому $M=(0;3)$.

Пусть $B=(-b;0)$, $C=(c;0)$, где $b>0$ и $c>0$. Уравнение окружности с диаметром $BC$ имеет вид $x^2+y^2+(b-c)x-bc=0$.

Введём координаты точек: $B=(0,0)$, $C=(4,0)$, $A=(0,h)$, $D=(8,h)$, $E=(0,e)$. Пусть центр окружности имеет координаты $(r,e)$. Так как окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, её радиус равен $r$.

Точка $C$ принадлежит окружности, поэтому$$(4-r)^2+e^2=r^2$$

Рассмотрим треугольники $AKP$ и $ACB$. Угол $KAP$ равен углу $CAB$, поскольку лучи $AK$ и $AB$, а также $AP$ и $AC$ совпадают.$$\angle KAP = \angle CAB$$

Углы $AKP$ и $ACB$ равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $KB$.$$\angle AKP = \angle ACB$$

Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=36+45=81$$

Прямые $AB$ и $CD$ являются хордами, соединяющими точки касания общих внешних касательных с соответствующими окружностями. Поэтому каждая из этих хорд перпендикулярна линии центров $O_1O_2$.

Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=22+99=121$$

Радиусы, проведённые в точки касания с одной и той же общей касательной, перпендикулярны этой касательной. Поэтому прямая $AB$, соединяющая точки касания первой окружности с двумя общими касательными, перпендикулярна каждой из них…

Обозначим радиус описанной окружности через $R$. В треугольнике $AOB$ имеем $OA = OB = R$, поэтому его основания углы равны. Проекция отрезка $AB$ на прямую $AO$ равна $AB\cos\angle BAO$. Из равнобедренного треугольника $AOB$ следует…$$AB = 2R\cos\angle BAO$$

Аналогично для треугольника $AOC$: $AC = 2R\cos\angle CAO$. Следовательно, $\cos\angle CAO = \dfrac{AC}{AB}\cos\angle BAO = 2\cos\angle BAO$.$$\cos\angle CAO = 2\cos\angle BAO$$

Обозначим $AB= c$, $BC= a$, а половину угла $ABC$ — через $\alpha$. Выберем систему координат так, чтобы биссектриса $BE$ была осью абсцисс, а точка $B$ имела координаты $(0,0)$. Тогда можно записать:$$A=(c\cos\alpha,c\sin\alpha),\quad C=(a\cos\alpha,-a\sin\alpha)$$

Так как $AD$ — медиана, точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Поэтому:$$D=\left(\frac{a\cos\alpha}{2},-\frac{a\sin\alpha}{2}\right)$$