Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите $AC$, если диаметр окружности равен $6{,}4$, а $AB = 6$.
- 1
Обозначим центр окружности через $O$. Радиус окружности равен половине диаметра:$$OC = OB = \frac{6{,}4}{2} = 3{,}2$$
- 2
Радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен прямой $AB$. Поэтому треугольник $AOB$ прямоугольный.$$OB \perp AB$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 11$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $3$.
- 1
Обозначим через $\alpha$ угол $DAB$, а через $h$ — высоту параллелограмма, проведённую к стороне $AB$. Тогда $h = BC \sin \alpha$.
- 2
Биссектриса угла $A$ образует с прямой $AB$ угол $\dfrac{\alpha}{2}$. Биссектриса угла $B$ образует с прямой $AB$ угол $90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$. Из условия пересечения этих биссектрис следует, что точка $K$ находится на половине…
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $5$, а основание $BC$ равно $1$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Расположим трапецию в координатной плоскости: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $C=(x,h)$, $B=(x+1,h)$. Тогда $AD=a$, $BC=1$, а $h$ — высота трапеции.$$CD^2=x^2+h^2=25$$
- 2
Так как $AB=4$, получаем второе равенство для боковых сторон:$$(x+1-a)^2+h^2=16$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD = 45$, $MD = 15$. $H$ — точка пересечения высот треугольника…
- 1
Расположим координатные оси так, чтобы точка $D$ была началом координат, сторона $BC$ лежала на оси $Ox$, а высота $AD$ — на оси $Oy$. Тогда $A=(0,45)$, $M=(0,15)$, а точки $B$ и $C$ имеют координаты $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$.
- 2
Уравнение окружности, диаметр которой имеет концы $B=(b,0)$ и $C=(c,0)$, имеет вид $x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$.$$x^2+y^2-(b+c)x+bc=0$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите…
- 1
Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=33+99=132$$
- 2
Проведём радиусы $O_1A$ и $O_2C$. Они перпендикулярны общей касательной $AC$, поэтому треугольник, образованный линией центров и радиусами к касательной, является прямоугольным. Разность радиусов равна:$$O_2C-O_1A=99-33=66$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $A$ и $B$ в параллелограмме $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь параллелограмма, если $BC = 6$, а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $6$.
- 1
Обозначим $AB=b$, а угол $DAB$ — через $\alpha$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC=AD=6$.
- 2
Рассмотрим биссектрису угла $A$. В треугольнике, образованном этой биссектрисой и сторонами параллелограмма, расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ выражается формулой$$h_K=\frac{AB\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{b\sin\alpha}{2}$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде