Задание 22 ОГЭ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Разберем функцию по знаку выражения $x+2$. При $x<-2$ имеем $|x+2|=-(x+2)$, а при $x\geqslant -2$ имеем $|x+2|=x+2$.$$y=\begin{cases}x^2+3x+3(x+2)+2=(x+3)^2-1, & x<-2,\\ x^2+3x-3(x+2)+2=x^2-4, & x\geqslant -2.\end{cases}$$

Левая часть графика — часть параболы $y=(x+3)^2-1$ при $x<-2$. Ее вершина имеет координаты $(-3,-1)$, а точка с абсциссой $-2$ не входит в эту часть.$$(-3,-1)$$

Для первого участка $y = 4x - 5$, определённого при $x < 1$, при приближении к $x = 1$ значение функции стремится к $-1$, но значение $-1$ не достигается. Поэтому диапазон этого участка: $y < -1$.$$y < -1$$

Для второго участка $y = -2{,}5x + 5$, определённого при $1 \le x \le 4$, значения на концах равны $2$ и $-5$. Поэтому диапазон этого участка: $-5 \le y \le 2$.$$y(1)=2,\quad y(4)=-5$$

Раскроем модули в зависимости от знака $x$. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому$$y=x(-x)+(-x)-3x=-x^2-4x=4-(x+2)^2$$

При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому$$y=x^2+x-3x=x^2-2x=(x-1)^2-1$$

Область определения функции: $x\ne-2$, так как знаменатель $|x+2|$ не может быть равен нулю.$$D(y)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$$

Разложим числитель на множители и выполним деление:$$x^2+3x-4=(x+2)(x+1)-6$$

Раскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.$$y=\begin{cases}-x(x+1)-6x=-x^2-7x, & x<0,\\ x(x+1)-6x=x^2-5x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$

Левая часть графика является ветвью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{7}{2}$ и ординату $\dfrac{49}{4}$.$$y=-\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{4}$$

Первая часть графика — луч прямой $y=2{,}5x-3{,}5$ при $x<2$. При $x=2$ значение равно $1{,}5$, но точка не входит в эту часть, поэтому её множество значений: $y<1{,}5$.$$y<1{,}5$$

Вторая часть — отрезок прямой $y=-3x+7{,}5$ при $2\le x\le3$. На концах отрезка получаем значения $1{,}5$ и $-1{,}5$, поэтому множество значений: $-1{,}5\le y\le1{,}5$.$$y(2)=1{,}5,\quad y(3)=-1{,}5$$

Построим первую часть графика $y=2{,}5x-1$ при $x<2$. При $x\to2-$ значение функции стремится к $4$, но точка с координатами $(2;4)$ для этой части не принадлежит графику. Поэтому первая часть принимает все значения $y<4$.

Для второй части $y=-3{,}5x+11$ на отрезке $2\le x\le3$: $y(2)=4$, $y(3)=0{,}5$. Эта часть принимает все значения $0{,}5\le y\le4$, причём оба конца включены.

Так как $1-x=-(x-1)$, при $x\ne1$ дробь сокращается:$$y=\frac{(x^2+6{,}25)(x-1)}{1-x}=-(x^2+6{,}25)=-x^2-6{,}25$$

График — парабола $y=-x^2-6{,}25$, ветви направлены вниз, вершина находится в точке $(0;-6{,}25)$. Но точка с абсциссой $x=1$ исключена, поэтому на параболе отсутствует выколотая точка:$$y(1)=-1-6{,}25=-7{,}25$$

Разложим выражение под знаком модуля на множители:$$x^2 + 3x + 2 = (x+2)(x+1)$$

Квадратичная функция $x^2 + 3x + 2$ отрицательна на промежутке $(-2;-1)$ и неотрицательна при $x \leqslant -2$ и $x \geqslant -1$. Поэтому график задаётся формулой$$y = \begin{cases}x^2+3x+2, & x\leqslant -2\text{ или }x\geqslant -1,\\-(x^2+3x+2), & -2\leqslant x\leqslant -1.\end{cases}$$

Первая часть графика — ветвь параболы $y = -x^2 - 2x + 3$, построенная только при $x \geq -2$. Преобразуем выражение:$$y = -(x+1)^2 + 4$$

Вершина параболы имеет координаты $(-1;4)$. На границе области определения $x=-2$ получаем точку $(-2;3)$, которая принадлежит графику.

Раскроем модуль по определению.$$y=\begin{cases}-x(x-1)-2x=-x^2-x, & x<0,\\ x(x-1)-2x=x^2-3x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$

График при $x<0$ — левая часть параболы $y=-x^2-x$. Её вершина имеет координаты $\left(-\frac12,\frac14\right)$, поэтому на этой части максимальное значение равно $\frac14$. При $m<0$ горизонтальная прямая пересекает эту часть в одной…

Раскроем модуль по определению.$$|x-5|=\begin{cases}5-x,&x<5,\\x-5,&x\geqslant5.\end{cases}$$

При $x<5$ функция принимает вид:$$y=x^2-11x-2(5-x)+30=x^2-9x+20=\left(x-\frac92\right)^2-\frac14$$

Разложим знаменатель на множители:$$x^2+5x=x(x+5)$$

Область определения исходной функции задаётся условиями $x\ne0$ и $x\ne-5$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-5,0\}$$

Разложим знаменатель на множители:$$7x^2-5x=x(7x-5)$$

Сократим дробь, учитывая ограничения на область определения:$$y=\dfrac{7x-5}{x(7x-5)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne0,\quad x\ne\dfrac{5}{7}$$

Найдём область определения исходной функции. Знаменатель раскладывается на множители:$$7x^2-6x=x(7x-6)$$

Поэтому $x\ne 0$ и $x\ne \dfrac{6}{7}$. Сокращаем дробь только с учётом этих ограничений:$$y=\dfrac{7x-6}{x(7x-6)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,\ x\ne \dfrac{6}{7}$$

Разложим знаменатель на множители и определим область определения функции.$$4x^2-5x=x(4x-5),\quad x\ne 0,\quad x\ne \dfrac{5}{4}$$

Сократим дробь с учётом ограничений области определения.$$y=\dfrac{4x-5}{x(4x-5)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,\quad x\ne \dfrac{5}{4}$$

Область определения исходной функции задаётся условием $x\ne 1$.$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$

В числителе вынесем общий множитель $x-1$:$$0{,}5x^2-0{,}5x=0{,}5x(x-1)$$

Область определения исходной функции определяется условием $x+2\ne 0$, поэтому $x\ne -2$.$$D(f)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$$

Разложим числитель на множители:$$0{,}75x^2+1{,}5x=0{,}75x(x+2)$$

Первая часть функции — парабола $y=(x+1)^2$, взятая при $x\ge -2$. Её вершина имеет координаты $(-1;0)$, а точка при $x=-2$ равна $(-2;1)$ и принадлежит графику.$$y=(x+1)^2$$

Вторая часть — ветвь гиперболы $y=-\dfrac{2}{x}$ при $x<-2$. При приближении к точке $x=-2$ слева значение $y$ стремится к $1$, но точка $(-2;1)$ для этой части не входит в график. Значения этой ветви лежат в интервале $0<y<1$.$$0<y<1$$

Раскроем модуль по определению. При $x<3$ имеем $|x-3|=3-x$, а при $x\geqslant 3$ имеем $|x-3|=x-3$.

Получаем кусочную запись функции:$$y=\begin{cases}x^2-4x+3=(x-2)^2-1, & x<3,\\ x^2-12x+27=(x-6)^2-9, & x\geqslant 3.\end{cases}$$