Решение: График функции и прямая
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+6{,}25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговТак как $1-x=-(x-1)$, при $x\ne1$ дробь сокращается:
$$y=\frac{(x^2+6{,}25)(x-1)}{1-x}=-(x^2+6{,}25)=-x^2-6{,}25$$График — парабола $y=-x^2-6{,}25$, ветви направлены вниз, вершина находится в точке $(0;-6{,}25)$. Но точка с абсциссой $x=1$ исключена, поэтому на параболе отсутствует выколотая точка:
$$y(1)=-1-6{,}25=-7{,}25$$Для нахождения общих точек с прямой $y=kx$ приравняем правые части:
$$-x^2-6{,}25=kx\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+kx+6{,}25=0$$Если дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень, то есть прямая касается параболы:
$$D=k^2-25=0\quad\Longrightarrow\quad k=\pm5$$При $k=5$ корень равен $x=-2{,}5$, а при $k=-5$ корень равен $x=2{,}5$. Оба корня допустимы, поскольку не равны $1$.
Также ровно одна общая точка получается, если один из двух корней равен $x=1$ и поэтому не принадлежит графику. Подставим $x=1$ в уравнение:
$$1+k+6{,}25=0\quad\Longrightarrow\quad k=-7{,}25$$При $k=-7{,}25$ второй корень равен $x=6{,}25$, поэтому остаётся одна допустимая общая точка. Значение $k=-2$ не подходит: при нулевом дискриминанте единственный корень равен $x=1$ и исключён из области определения.
$k\in\{-7{,}25;-5;5\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne1$ после сокращения дроби.
Считать, что при нулевом дискриминанте всегда получается одна общая точка, не проверяя допустимость корня.
Забыть дополнительный случай $k=-7{,}25$, когда один из двух корней совпадает с исключённым значением $x=1$.