Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2-x)\cdot |x|}{x-2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
7 шаговОбласть определения функции: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne 2$.
Раскроем модуль. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\ge 0$ имеем $|x|=x$. Поэтому
$$y=\begin{cases}\dfrac{-0{,}5x^3+x^2}{x-2},&x<0,\\[6pt]\dfrac{0{,}5x^3-x^2}{x-2},&x\ge 0,\ x\ne2.\end{cases}$$Для второй ветви обозначим $g(x)=\dfrac{0{,}5x^3-x^2}{x-2}$. Её производная равна
$$g'(x)=\frac{(1{,}5x^2-2x)(x-2)-(0{,}5x^3-x^2)}{(x-2)^2}=\frac{x(x-2)^2}{(x-2)^2}=x$$Следовательно, на промежутке $(0,2)$ функция возрастает, и на промежутке $(2,+\infty)$ также возрастает. При этом $g(0)=0$, $\lim\limits_{x\to2-}g(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to2+}g(x)=-\infty$, а $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.
На промежутке $(2,+\infty)$ функция непрерывна и возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Значит, она принимает любое действительное значение.
Для левой ветви функция равна $-g(x)$. На промежутке $(-\infty,0)$ она возрастает и стремится к $-\infty$ при $x\to-\infty$, а при $x\to0-$ стремится к $0$. График проходит через точку $(0,0)$, но точка $(2,0)$ не принадлежит области определения.
Так как правая ветвь на промежутке $(2,+\infty)$ принимает все действительные значения, любая горизонтальная прямая $y=m$ имеет с графиком хотя бы одну общую точку.
Таких значений $m$ нет: для любого $m\in\mathbb{R}$ прямая $y=m$ пересекает график функции.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают исключить значение $x=2$ из области определения.
Неверно раскрывают модуль $|x|$ на промежутке $x<0$.
Делают вывод об отсутствии пересечений только по одной ветви графика.
Не учитывают, что на промежутке $(2,+\infty)$ функция принимает все действительные значения.