Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}25x^2 + x)\cdot |x|}{x+4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
5 шаговНайдём область определения исходной функции: знаменатель не должен обращаться в ноль.
$$x+4\ne 0,\quad x\ne -4$$Разложим числитель на множители и сократим общий множитель $x+4$, сохранив ограничение $x\ne -4$.
$$0{,}25x^2+x=\frac{x^2}{4}+x=\frac{x(x+4)}{4},\quad y=\frac{x(x+4)|x|}{4(x+4)}=\frac{x|x|}{4},\quad x\ne -4$$Раскроем модуль по определению. При $x<0$ получаем левую ветвь параболы, а при $x\ge 0$ — правую ветвь.
$$y=\begin{cases}-\dfrac{x^2}{4},&x<0,\\[4pt]\dfrac{x^2}{4},&x\ge 0\end{cases},\quad x\ne -4$$График функции $y=\dfrac{x|x|}{4}$ имеет значения от $-\infty$ до $+\infty$. Однако при $x=-4$ исходная функция не определена. Соответствующее значение на упрощённом графике равно $-4$.
$$y(-4)=-\frac{(-4)^2}{4}=-4$$Следовательно, из графика удаляется точка $(-4;-4)$, а значение $y=-4$ больше нигде не достигается. Поэтому прямая $y=m$ не пересекает график только при $m=-4$.
График: $y=-\dfrac{x^2}{4}$ при $x<0$ и $y=\dfrac{x^2}{4}$ при $x\ge 0$, с выколотой точкой $(-4;-4)$. Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком при $m=-4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
После сокращения множителя $x+4$ забывают ограничение $x\ne -4$.
Изображают полную параболу без выколотой точки $(-4;-4)$.
Ошибочно считают, что горизонтальная прямая $y=-4$ пересекает левую ветвь в точке $x=-4$.