Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+2{,}25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
9 шаговОбласть определения функции задаётся условием $1-x\ne0$, поэтому $x\ne1$.
Так как $x-1=-(1-x)$, при $x\ne1$ получаем:
$$y=\frac{(x^2+2{,}25)(x-1)}{1-x}=-(x^2+2{,}25)=-x^2-\frac94$$График — парабола $y=-x^2-\dfrac94$ с вершиной $\left(0,-\dfrac94\right)$, направленная ветвями вниз. Точка при $x=1$ исключена: $\left(1,-\dfrac{13}{4}\right)$ — выколотая точка.
Для нахождения общих точек с прямой $y=kx$ приравняем значения функций:
$$kx=-x^2-\frac94$$Получаем квадратное уравнение относительно абсциссы точки пересечения:
$$x^2+kx+\frac94=0$$Его дискриминант равен:
$$\Delta=k^2-9$$При $\Delta=0$ имеется один корень. Это даёт $k=\pm3$. Корни равны $x=-\dfrac{k}{2}$ и не совпадают с исключённым значением $x=1$, поэтому оба значения подходят.
При $\Delta>0$ обычно имеются две точки пересечения. Однако одна из них может быть исключённой точкой $x=1$. Подставляя $x=1$ в уравнение, получаем:
$$1+k+\frac94=0\quad\Rightarrow\quad k=-\frac{13}{4}$$При $k=-\dfrac{13}{4}$ второй корень равен $\dfrac94$, поэтому остаётся ровно одна допустимая точка пересечения. При $\Delta<0$ пересечений нет, а при $k=-2$ единственный корень равен $x=1$ и также исключён.
График: парабола $y=-x^2-\dfrac94$ с выколотой точкой $\left(1,-\dfrac{13}{4}\right)$. Ровно одна общая точка получается при $k\in\left\{-\dfrac{13}{4},-3,3\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne1$ после сокращения дроби.
Изобразить полную параболу без выколотой точки.
Считать случай $\Delta>0$ всегда дающим две точки, не проверяя исключённый корень $x=1$.
Ошибочно включить $k=-2$: при этом единственный корень равен исключённому значению $x=1$.