Решение: График дробно-рациональной функции
Постройте график функции $y=3-\dfrac{x+5}{x^2+5x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
7 шаговНайдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$x^2+5x=x(x+5)\ne0$$Следовательно, $x\ne0$ и $x\ne-5$. Сократим общий множитель $x+5$ при этих ограничениях:
$$y=3-\dfrac{x+5}{x(x+5)}=3-\dfrac1x$$График имеет вид гиперболы $y=3-\dfrac1x$. Вертикальная асимптота задаётся уравнением $x=0$, горизонтальная асимптота — уравнением $y=3$.
При сокращении была исключена точка с абсциссой $x=-5$. Её ордината на гиперболе равна:
$$y=3-\dfrac1{-5}=3+\dfrac15=\dfrac{16}{5}$$Таким образом, на графике имеется выколотая точка $\left(-5;\dfrac{16}{5}\right)$.
Для пересечения с прямой $y=m$ решим уравнение:
$$m=3-\dfrac1x,\qquad x=\dfrac1{3-m}$$При $m=3$ уравнение не имеет решений. Если $m\ne3$, пересечение существует, кроме случая, когда найденная абсцисса равна $-5$:
$$\dfrac1{3-m}=-5\quad\Longrightarrow\quad 3-m=-\dfrac15\quad\Longrightarrow\quad m=\dfrac{16}{5}$$Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком при $m=3$ или $m=\dfrac{16}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что исходная функция не определена при $x=-5$, несмотря на сокращение дроби.
Указывают только значение $m=3$ и не учитывают выколотую точку.
Считают графиком полную гиперболу $y=3-\dfrac1x$ без удаления точки $\left(-5;\dfrac{16}{5}\right)$.