Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+6{,}25)(x+1)}{-1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $-1-x\ne0$, то есть $x\ne-1$.
$$x\ne-1$$Так как $-1-x=-(x+1)$, при $x\ne-1$ сокращаем множитель $x+1$.
$$y=\frac{(x^2+6{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+6{,}25)=-x^2-6{,}25$$График — парабола $y=-x^2-6{,}25$, направленная ветвями вниз, с вершиной в точке $(0;-6{,}25)$. Точка с абсциссой $x=-1$ выколота.
$$(-1;\,-1-6{,}25)=(-1;\,-7{,}25)$$Для нахождения общих точек приравняем выражения для $y$.
$$-x^2-6{,}25=kx$$Получаем квадратное уравнение. Если его дискриминант отрицателен, общих точек нет; если равен нулю, возможна одна точка касания; если положителен, обычно имеются две точки.
$$x^2+kx+6{,}25=0,\quad D=k^2-25$$При $D=0$ получаем $k=\pm5$. При $k=-5$ корень $x=2{,}5$, а при $k=5$ корень $x=-2{,}5$; оба корня допустимы. Поэтому эти два значения подходят.
$$k=-5\ \text{или}\ k=5$$При $D>0$ два корня дают две общие точки, если оба допустимы. Ровно одна точка получится, если один из корней равен недопустимому значению $x=-1$.
$$(-1)^2+k(-1)+6{,}25=0$$Из последнего уравнения находим $k=7{,}25=\dfrac{29}{4}$. Один корень при этом исключается, а второй остаётся допустимым, поэтому общая точка ровно одна.
$$1-k+6{,}25=0\quad\Rightarrow\quad k=\frac{29}{4}$$График — парабола $y=-x^2-6{,}25$ с выколотой точкой $(-1;-7{,}25)$. Прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k=-5$, $k=5$ или $k=\dfrac{29}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne-1$ после сокращения дроби.
Считать, что при $D>0$ всегда две общие точки, не проверяя выколотую точку.
Указать только значения $k=\pm5$ и пропустить случай $k=\dfrac{29}{4}$.