Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=|x|(x-1)-2x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
5 шаговРаскроем модуль по определению.
$$y=\begin{cases}-x(x-1)-2x=-x^2-x, & x<0,\\ x(x-1)-2x=x^2-3x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$График при $x<0$ — левая часть параболы $y=-x^2-x$. Её вершина имеет координаты $\left(-\frac12,\frac14\right)$, поэтому на этой части максимальное значение равно $\frac14$. При $m<0$ горизонтальная прямая пересекает эту часть в одной точке, при $m=0$ — также в одной точке, при $0<m<\frac14$ — в двух точках, при $m=\frac14$ — в одной точке.
График при $x\geqslant 0$ — правая часть параболы $y=x^2-3x$. Её вершина имеет координаты $\left(\frac32,-\frac94\right)$. При $m<- rac94$ пересечений нет, при $m=-\frac94$ — одна точка, при $-\frac94<m<0$ — две точки, при $m=0$ — две точки, а при $m>0$ — одна точка.
Складываем количество пересечений двух частей графика. Ровно две общие точки получаются при касании прямой $y=m$ к правой параболе в её вершине или к левой параболе в её вершине.
Следовательно, значения параметра равны $m=-\frac94$ и $m=\frac14$.
$m\in\left\{-\frac94;\frac14\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<0$ и $x\geqslant 0$ после раскрытия модуля.
Считать точку $x=0$ принадлежащей обеим частям графика.
Забыть проверить число пересечений на границах диапазонов $m=-\frac94$, $m=0$ и $m=\frac14$.