Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2-4x-1, & x\geq -3,\\-x-3, & x<-3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
5 шаговПервую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:
$$-x^2-4x-1=-(x+2)^2+3$$Вершина параболы находится в точке $(-2;3)$. На границе области $x=-3$ значение первой части равно $2$, поэтому точка $(-3;2)$ принадлежит графику. Парабола рассматривается только при $x\geq -3$.
Вторая часть является лучом прямой $y=-x-3$ при $x<-3$. При $x\to -3$ значение стремится к $0$, но точка $(-3;0)$ не принадлежит этому лучу. Поэтому прямая даёт одно пересечение с $y=m$ ровно при $m>0$.
Для параболы при $m<2$ горизонтальная прямая пересекает рассматриваемую ветвь в одной точке. При $2\leq m<3$ она пересекает параболу в двух точках, а при $m=3$ касается её в вершине и имеет одну общую точку.
Если $0<m<2$, одна точка получается на прямой и одна на параболе. Если $2\leq m<3$, получается одна точка на прямой и две на параболе, то есть три точки. При $m=3$ одна точка находится на прямой и одна — в вершине параболы.
$m\in(0;2)\cup\{3\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают точку $(-3;0)$ как принадлежащую прямой, хотя условие для второй части — $x<-3$.
Забывают ограничение $x\geq -3$ для параболы и считают обе ветви полной параболы.
Включают значение $m=2$, не замечая, что при $m=2$ парабола даёт две точки, а прямая — ещё одну.
Не включают $m=3$, хотя в вершине параболы и на луче прямой находятся две разные точки.