Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y=|x|(x+1)-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
4 шагаРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x^2-4x=4-(x+2)^2, & x<0,\\x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\geqslant 0.\end{cases}$$Левая часть графика — ветвь параболы с вершиной $(-2;4)$, заданная при $x<0$. При $m<0$ она не пересекает прямую $y=m$; при $m=0$ имеет одну точку пересечения $(-4;0)$; при $0<m<4$ имеет две точки; при $m=4$ — одну точку; при $m>4$ — ни одной.
Правая часть графика — ветвь параболы с вершиной $(1;-1)$, заданная при $x\geqslant 0$. При $-1<m<0$ она пересекает прямую $y=m$ в двух точках; при $m=-1$ — в одной; при $m\geqslant 0$ — в двух точках при $m=0$ и в одной точке при $m>0$.
Объединяем результаты. При $-1<m<0$ есть две точки пересечения только с правой частью графика. При $m=4$ есть одна точка с каждой частью графика, всего две точки. В остальных случаях число общих точек отличается от двух.
$m\in(-1;0)\cup\{4\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать разные формулы функции при $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Считать точку $x=0$ дважды.
Включать значения $m=-1$ или $m=0$, хотя при них число пересечений не равно двум.
Забывать, что левая парабола задана только при $x<0$.