Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=x^2-8x-4|x-3|+15$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<3$ имеем $|x-3|=3-x$, а при $x\geqslant 3$ имеем $|x-3|=x-3$.
Получаем кусочную запись функции:
$$y=\begin{cases}x^2-4x+3=(x-2)^2-1, & x<3,\\ x^2-12x+27=(x-6)^2-9, & x\geqslant 3.\end{cases}$$Первая часть графика — левая часть параболы с вершиной $(2,-1)$, ограниченная условием $x<3$. Вторая часть — правая часть параболы с вершиной $(6,-9)$, заданная при $x\geqslant 3$. Обе части соединяются в точке $(3,0)$.
Для $m=-1$ горизонтальная прямая касается первой параболы в её вершине и пересекает вторую параболу в двух точках, поэтому всего получается три общие точки.
Для $m=0$ прямая пересекает первую часть в точке с абсциссой $x=2$, а вторую часть — в точках $x=3$ и $x=9$. Таким образом, также получаются три общие точки.
При $-1<m<0$ первая часть даёт две точки, а вторая — две, то есть всего четыре. При $m<-1$ или $m>0$ число пересечений не равно трём. Следовательно, других значений $m$ нет.
Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки при $m=-1$ и $m=0$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно раскрывают модуль при $x<3$.
Не учитывают ограничения $x<3$ и $x\geqslant 3$ для частей парабол.
Считают точку $(3,0)$ одновременно принадлежащей обеим частям графика.
Не проверяют количество пересечений при граничных значениях $m=-1$ и $m=0$.