Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2 - x)\cdot |x|}{x - 1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения функции: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x \ne 1$.
$$D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$При $x < 0$ значение модуля равно $|x|=-x$. Сокращая общий множитель $x-1$, получаем:
$$y=\frac{(x^2-x)(-x)}{x-1}=\frac{x(x-1)(-x)}{x-1}=-x^2$$При $x \geq 0$ значение модуля равно $|x|=x$. С учётом ограничения $x\ne1$ получаем:
$$y=\frac{(x^2-x)x}{x-1}=\frac{x(x-1)x}{x-1}=x^2,\quad x\geq0,\ x\ne1$$Следовательно, график состоит из левой ветви параболы $y=-x^2$ при $x<0$ и правой ветви параболы $y=x^2$ при $x\geq0$, $x\ne1$. Точка $(0;0)$ принадлежит графику, а точка $(1;1)$ выколота.
$$y=\begin{cases}-x^2,&x<0,\\x^2,&x\geq0,\ x\ne1\end{cases}$$Множество значений функции: на участке $x<0$ получаются все отрицательные значения и значение $0$ достигается при $x=0$. На участке $x\geq0$ получаются все неотрицательные значения, кроме $1$, так как значение $1$ достигается только при $x=1$, исключённом из области определения.
$$E(y)=(-\infty;0]\cup[0;+\infty)\setminus\{1\}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$$Прямая $y=m$ не пересекает график только тогда, когда число $m$ не принадлежит множеству значений функции.
$$m\notin E(y)\Longrightarrow m=1$$График: $y=-x^2$ при $x<0$ и $y=x^2$ при $x\geq0$, $x\ne1$, с выколотой точкой $(1;1)$. Прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком только при $m=1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne1$ после сокращения дроби.
Заменять $|x|$ одной формулой на всей числовой прямой.
Считать, что значение $y=1$ достигается при $x=-1$.
Не отмечать на графике выколотую точку $(1;1)$.