Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=x|x|+3|x|-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем знаки модуля на двух промежутках.
$$y=\begin{cases}-x^2-8x=16-(x+4)^2, & x<0,\\ x^2-2x=(x-1)^2-1, & x\geqslant 0.\end{cases}$$При $x<0$ получаем левую ветвь параболы, направленную вниз, с вершиной $(-4;16)$. Точка с абсциссой $0$ в эту ветвь не входит.
При $x\geqslant 0$ получаем правую часть параболы, направленной вверх, с вершиной $(1;-1)$ и точкой $(0;0)$.
Рассмотрим горизонтальные прямые $y=m$. При $m=-1$ прямая касается правой ветви в её вершине и пересекает левую ветвь в одной точке, поэтому общих точек две.
При $m=16$ прямая касается левой ветви в точке $(-4;16)$ и пересекает правую ветвь в одной точке, поэтому общих точек также две.
Для остальных значений $m$ число пересечений отличается от двух: при уровнях между соответствующими экстремальными значениями возникают одно или три пересечения.
$m=-1$ или $m=16$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют область определения на случаи $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Учитывают точку $x=0$ одновременно в обеих ветвях.
Забывают, что прямая $y=m$ должна пересекать весь график, а не только одну из парабол.