Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{x^2+3x-4}{|x+2|}+2$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
10 шаговОбласть определения функции: $x\ne-2$, так как знаменатель $|x+2|$ не может быть равен нулю.
$$D(y)=(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$$Разложим числитель на множители и выполним деление:
$$x^2+3x-4=(x+2)(x+1)-6$$При $x>-2$ имеем $|x+2|=x+2$, поэтому:
$$y=\frac{x^2+3x-4}{x+2}+2=x+3-\frac{6}{x+2}$$При $x<-2$ имеем $|x+2|=-(x+2)$, поэтому:
$$y=-\frac{x^2+3x-4}{x+2}+2=-x+1+\frac{6}{x+2}$$Для правой ветви производная положительна на всей области определения:
$$y'_1=1+\frac{6}{(x+2)^2}>0$$Для левой ветви производная отрицательна на всей области определения:
$$y'_2=-1-\frac{6}{(x+2)^2}<0$$Обе ветви имеют вертикальную асимптоту $x=-2$. При $x\to-2+$ правая ветвь стремится к $-\infty$, а при $x\to+\infty$ — к $+\infty$. Следовательно, правая ветвь пересекает любую прямую $y=m$ ровно один раз.
$$\lim_{x\to-2+}y=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}y=+\infty$$При $x\to-\infty$ левая ветвь стремится к $+\infty$, а при $x\to-2-$ — к $-\infty$. Следовательно, левая ветвь также пересекает любую прямую $y=m$ ровно один раз.
$$\lim_{x\to-\infty}y=+\infty,\qquad \lim_{x\to-2-}y=-\infty$$Для построения графика можно отметить, например, точки правой ветви $(-1,-4)$, $(0,-1)$, $(1,\,\tfrac{4}{3})$, а левой ветви $(-3,-4)$, $(-4,-1)$, $(-5,\,\tfrac{4}{3})$. Горизонтальной асимптоты нет; наклонные асимптоты: $y=x+3$ справа и $y=-x+1$ слева.
Каждая прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки: по одной на каждой ветви. Поэтому ровно трёх общих точек быть не может.
Таких значений $m$ не существует.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что при раскрытии модуля нужно рассматривать два промежутка: $x<-2$ и $x>-2$.
Считают точку $x=-2$ принадлежащей области определения.
Ошибочно предполагают наличие третьей точки пересечения в вершине графика.
Неправильно определяют знак дроби на промежутке $x<-2$.