Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}75x^2+0{,}75x)\cdot|x|}{x+1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговЗнаменатель исходной дроби не должен обращаться в ноль, поэтому область определения: $x\ne-1$.
$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$Разложим выражение в числителе на множители и сократим дробь с учётом ограничения $x\ne-1$.
$$y=\frac{0{,}75x(x+1)|x|}{x+1}=0{,}75x|x|,\quad x\ne-1$$Раскроем модуль по определению. При отрицательных $x$ график задаётся нижней ветвью параболы, а при неотрицательных $x$ — верхней ветвью.
$$y=\begin{cases}-0{,}75x^2, & x<0,\\0{,}75x^2, & x\geq0,\end{cases}\quad x\ne-1$$График состоит из двух соответствующих ветвей парабол. В точке с абсциссой $x=-1$ должна быть выколотая точка: её ордината равна $-0{,}75$.
$$y(-1)=-0{,}75$$Без выколотой точки множество значений функции — все действительные числа. Значение $y=-0{,}75$ достигается на отрицательной ветви только при $x=-1$, а эта точка исключена из области определения. Поэтому это единственное недостижимое значение.
$$E(y)=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac34\right\}$$Прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда её ордината не принадлежит множеству значений функции.
$$m=-\frac34$$Прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки при $m=-\frac34$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne-1$ после сокращения дроби.
Изображать точку $(-1;-0{,}75)$ заполненной.
Считать, что после сокращения исходная функция совпадает с $0{,}75x|x|$ на всей числовой прямой.
Ошибочно включать значение $m=-0{,}75$ в множество значений функции.