Решение: График дробно-рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{9x+1}{9x^2+x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговНайдём область определения функции. Знаменатель равен нулю при $x=0$ или $9x+1=0$, то есть при $x=-\dfrac{1}{9}$.
$$9x^2+x=x(9x+1)$$При допустимых значениях $x$ сократим общий множитель $9x+1$:
$$y=\dfrac{9x+1}{x(9x+1)}=\dfrac{1}{x},\quad x\ne 0,-\dfrac{1}{9}$$График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, из которой удалена точка с абсциссой $x=-\dfrac{1}{9}$. Её ордината равна $y=-9$, поэтому на графике имеется выколотая точка $\left(-\dfrac{1}{9};-9\right)$.
Для нахождения общих точек с прямой $y=kx$ приравняем значения функций:
$$\dfrac{1}{x}=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1$$При $k>0$ уравнение имеет два корня $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$. При $k\le 0$ действительных общих точек нет.
Ровно одна точка получается, если один из двух корней является исключённым значением $x=-\dfrac{1}{9}$. Подставим его в уравнение пересечения:
$$k\left(-\dfrac{1}{9}\right)^2=1\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{k}{81}=1\quad\Longrightarrow\quad k=81$$При $k=81$ отрицательный корень $x=-\dfrac{1}{9}$ соответствует выколотой точке, а положительный корень $x=\dfrac{1}{9}$ остаётся на графике. Поэтому общая точка ровно одна.
$k=81$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\ne 0$ и $x\ne -\dfrac{1}{9}$ после сокращения дроби.
Считать, что прямая $y=kx$ при любом $k>0$ имеет две общие точки.
Забыть, что точка $\left(-\dfrac{1}{9};-9\right)$ выколота из графика.