Решение: График функции и прямая
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговОбласть определения исходной функции: $x\ne1$, поскольку знаменатель $1-x$ не должен быть равен нулю.
Так как $x-1=-(1-x)$, при $x\ne1$ дробь упрощается:
$$y=\dfrac{(x^2+0{,}25)(x-1)}{1-x}=-(x^2+0{,}25)=-x^2-0{,}25$$График — парабола $y=-x^2-0{,}25$, направленная ветвями вниз, с вершиной $(0;-0{,}25)$. Точка $(1;-1{,}25)$ выколота, так как $x=1$ не входит в область определения.
Для нахождения точек пересечения с прямой $y=kx$ приравняем правые части:
$$kx=-x^2-0{,}25$$Получаем квадратное уравнение:
$$x^2+kx+0{,}25=0$$Если дискриминант равен нулю, имеется один корень и одна общая точка. Условие имеет вид $k^2-1=0$, откуда $k=1$ или $k=-1$. Соответствующие корни $x=-0{,}5$ и $x=0{,}5$, поэтому они допустимы.
При $k^2-1>0$ обычно имеются две точки пересечения. Ровно одна точка останется, если один из корней равен недопустимому значению $x=1$. Подставим $x=1$ в уравнение:
$$1+k+0{,}25=0$$Отсюда $k=-1{,}25=-\dfrac54$. Второй корень равен $0{,}25$, поэтому он допустим и даёт ровно одну общую точку.
$k\in\left\{-\dfrac54;-1;1\right\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne1$ после сокращения дроби.
Считать точку $(1;-1{,}25)$ принадлежащей графику параболы.
Рассматривать только условие нулевого дискриминанта и не проверять случай с выколотой точкой.