Решение: График модуля квадратичной функции
Постройте график функции $y = |x^2 - 9|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
5 шаговНайдём нули выражения под знаком модуля: $x^2 - 9 = 0$, поэтому $x = -3$ и $x = 3$.
Раскроем модуль по промежуткам:
$$y = |x^2 - 9| = \begin{cases}x^2 - 9, & x \leq -3 \text{ или } x \geq 3,\\ 9 - x^2, & -3 \leq x \leq 3.\end{cases}$$График состоит из двух внешних ветвей параболы $y = x^2 - 9$ и дуги параболы $y = 9 - x^2$ между точками $(-3;0)$ и $(3;0)$. Вершина внутренней дуги находится в точке $(0;9)$.
Рассмотрим горизонтальную прямую $y = c$. При $0 < c < 9$ получаем четыре решения: $x = \pm\sqrt{9-c}$ и $x = \pm\sqrt{9+c}$. Значит, прямая пересекает график в четырёх точках.
При $c = 0$ будет две точки пересечения, при $c = 9$ — три, а при $c > 9$ — две. Следовательно, наибольшее число точек пересечения равно четырём.
4 общие точки.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что при раскрытии модуля внутренняя часть параболы отражается относительно оси абсцисс.
Считать только пересечения с прямой $y = 0$.
Не рассматривать горизонтальные прямые с уровнем $0 < c < 9$.