Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5, & x<1,\\-2{,}5x+4, & 1\le x\le 3,\\1{,}5x-8, & x>3.\end{cases}$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговНа первом участке строится часть прямой $y=2{,}5x-3{,}5$ при $x<1$. При $x\to1-0$ значение $y$ стремится к $-1$, но точка с координатами $(1;-1)$ не принадлежит графику. Поэтому значения функции на этом участке образуют промежуток $(-\infty;-1)$.
На втором участке строится отрезок прямой $y=-2{,}5x+4$ при $1\le x\le3$. Его концы имеют координаты $(1;1{,}5)$ и $(3;-3{,}5)$, поэтому множество значений равно $[-3{,}5;1{,}5]$.
На третьем участке строится часть прямой $y=1{,}5x-8$ при $x>3$. При $x\to3+0$ значение $y$ стремится к $-3{,}5$, но эта точка не входит в третий участок. Множество значений третьего участка: $(-3{,}5;+\infty)$.
Если $m=-3{,}5$, прямая $y=m$ пересекает первый участок и второй участок в двух точках; третий участок начинается с открытой точки на этом уровне и пересечения не имеет.
Если $-3{,}5<m<-1$, прямая пересекает все три участка, то есть имеет три общие точки. При $m=-1$ первый участок пересечения не имеет, а второй и третий имеют, поэтому получается ровно две точки.
При $-1<m\le1{,}5$ прямая пересекает второй и третий участки. При $m>1{,}5$ остаётся только пересечение с третьим участком.
m=-3{,}5 или -1\le m\le1{,}5, то есть $m\in\{-3{,}5\}\cup[-1;1{,}5]$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Включают точку $(1;-1)$ в первый участок, хотя условие первого участка — $x<1$.
Включают точку $(3;-3{,}5)$ в третий участок, хотя для него требуется $x>3$.
Не учитывают, что при $-3{,}5<m<-1$ горизонтальная прямая пересекает все три участка.