Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=x|x|+|x|-6x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
8 шаговПри $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому функция принимает вид:
$$y=x(-x)-x-6x=-x^2-7x$$При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому:
$$y=x^2+x-6x=x^2-5x$$Таким образом, график состоит из двух частей парабол:
$$y=\begin{cases}-x^2-7x, & x<0,\\ x^2-5x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$Левая часть — ветвь параболы, направленной вниз. Её вершина имеет координаты $\left(-\dfrac{7}{2},\dfrac{49}{4}\right)$, поэтому при $0<m<\dfrac{49}{4}$ горизонтальная прямая пересекает левую часть в двух точках, при $m=\dfrac{49}{4}$ — в одной точке.
Правая часть — ветвь параболы, направленной вверх. Её вершина имеет координаты $\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{25}{4}\right)$. Поэтому при $m=-\dfrac{25}{4}$ прямая касается правой части в одной точке, а при $m<0$ и $m>-\dfrac{25}{4}$ число пересечений с правой частью меняется соответственно.
При $m=-\dfrac{25}{4}$ левая часть имеет одно пересечение, так как уравнение $-x^2-7x=-\dfrac{25}{4}$ имеет один отрицательный корень. Правая часть также имеет одно пересечение в вершине. Всего две точки.
При $m=\dfrac{49}{4}$ левая часть имеет одно пересечение в вершине. Правая часть имеет одно пересечение, так как уравнение $x^2-5x=\dfrac{49}{4}$ имеет единственный неотрицательный корень. Всего две точки.
Для остальных значений $m$ число пересечений отличается от двух: оно равно одной или трём точкам.
Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки при $m=-\dfrac{25}{4}$ или $m=\dfrac{49}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать разные формулы функции при $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Считать точку $x=0$ принадлежащей обеим частям графика.
Учитывать корни квадратных уравнений, не проверяя условие на знак $x$.
Забывать, что левая часть параболы задана только при $x<0$.