Решение: График функции с модулями
Постройте график функции $y=x|x|-|x|-5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модули в зависимости от знака $x$. Если $x<0$, то $|x|=-x$, поэтому
$$y=x(-x)-(-x)-5x=-x^2-4x$$Если $x\geqslant 0$, то $|x|=x$, поэтому
$$y=x^2-x-5x=x^2-6x$$Таким образом, график состоит из двух частей парабол:
$$y=\begin{cases}-x^2-4x, & x<0,\\ x^2-6x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$Левая часть — ветвь параболы $y=-(x+2)^2+4$ при $x<0$. Её вершина имеет координаты $(-2;4)$. При $m<0$ горизонтальная прямая пересекает эту ветвь в одной точке, при $0\leqslant m<4$ — в двух точках, при $m=4$ — в одной точке, а при $m>4$ — не пересекает её.
Правая часть — ветвь параболы $y=(x-3)^2-9$ при $x\geqslant 0$. Её вершина имеет координаты $(3;-9)$. При $m<-9$ пересечений нет, при $m=-9$ — одна точка, при $-9<m<0$ — две точки, при $m=0$ — две точки с абсциссами $0$ и $6$, а при $m>0$ — одна точка.
Подсчитаем общее число различных точек пересечения. При $m=-9$ имеется одна точка на левой ветви и одна точка на правой ветви, всего две точки. При $m=4$ имеется одна точка на каждой ветви, всего две точки. В остальных случаях число точек отличается от двух.
$m\in\{-9;4\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать разные формулы функции при $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Считать точку $x=0$ принадлежащей обеим ветвям как две разные точки.
Забыть, что левая ветвь задана только при $x<0$.
Неверно определить координаты вершин парабол.