Решение: График функции и прямая
Постройте график функции $y=\dfrac{2{,}5|x|-1}{|x|-2{,}5x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
7 шаговНайдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $|x|-2{,}5x^2\ne0$. Поэтому $x\ne0$, $x\ne\dfrac{2}{5}$ и $x\ne-\dfrac{2}{5}$.
При $x>0$ имеем $|x|=x$:
$$y=\frac{2{,}5x-1}{x-2{,}5x^2}=\frac{2{,}5x-1}{x(1-2{,}5x)}=-\frac1x$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$:
$$y=\frac{-2{,}5x-1}{-x-2{,}5x^2}=\frac{-(1+2{,}5x)}{-x(1+2{,}5x)}=\frac1x$$Следовательно, график задаётся формулой $y=-\dfrac1{|x|}$ при $x\ne0$, но точки, соответствующие $x=\pm\dfrac25$, отсутствуют. Это выколотые точки $\left(\dfrac25,-\dfrac52\right)$ и $\left(-\dfrac25,-\dfrac52\right)$.
Для точек графика при $x>0$ прямая, проходящая через начало координат, имеет угловой коэффициент:
$$k=\frac{y}{x}=-\frac1{x^2}<0$$При $x<0$ угловой коэффициент равен:
$$k=\frac{y}{x}=\frac1{x^2}>0$$Значение $k=0$ невозможно, так как график не пересекает ось $Ox$. Значение $k=-\dfrac{25}{4}$ также не даёт пересечения: оно соответствует $x=\dfrac25$, а эта точка выколота. При всех остальных значениях $k$ пересечение существует.
График: $y=-\dfrac1{|x|}$ при $x\ne0$, с выколотыми точками $\left(\pm\dfrac25,-\dfrac52\right)$. Прямая $y=kx$ не имеет общих точек с графиком при $k=0$ или $k=-\dfrac{25}{4}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать точки $x=0$ и $x=\pm\dfrac25$, исключённые из области определения.
После сокращения множителей считать точки $x=\pm\dfrac25$ принадлежащими графику.
Указать только $k=0$ и забыть второе значение $k=-\dfrac{25}{4}$.