Решение: График с модулем и параметры
Постройте график функции $y = \dfrac{|x| - 1}{|x| - x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
8 шаговНайдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль: $|x| - x^2 \ne 0$. Поэтому $x \ne -1$, $x \ne 0$, $x \ne 1$.
$$|x| - x^2 = 0 \Longleftrightarrow x \in \{-1,0,1\}$$При $x < 0$ имеем $|x| = -x$, поэтому дробь упрощается:
$$y = \frac{-x-1}{-x-x^2} = \frac{1}{x}, \quad x < 0,\ x \ne -1$$При $x > 0$ имеем $|x| = x$, поэтому:
$$y = \frac{x-1}{x-x^2} = -\frac{1}{x}, \quad x > 0,\ x \ne 1$$График состоит из ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$ в третьей координатной четверти с выколотой точкой $(-1,-1)$ и ветви гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ в четвёртой координатной четверти с выколотой точкой $(1,-1)$. Точки $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$ не принадлежат области определения.
Для левой ветви приравняем $\frac{1}{x}$ к $kx$:
$$\frac{1}{x} = kx \Longleftrightarrow k = \frac{1}{x^2}$$Если $k > 0$, решение существует, кроме случая $k = 1$: тогда единственное решение $x = -1$ запрещено. При $k \leq 0$ левая ветвь пересечений не даёт.
Для правой ветви получаем:
$$-\frac{1}{x} = kx \Longleftrightarrow k = -\frac{1}{x^2}$$Если $k < 0$, решение существует, кроме случая $k = -1$: тогда единственное решение $x = 1$ запрещено. При $k \geq 0$ правая ветвь пересечений не даёт. При $k = 0$ уравнение пересечения решений не имеет.
Прямая $y = kx$ не имеет общих точек с графиком функции при $k \in \{-1, 0, 1\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не исключают точки $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$ из области определения.
При упрощении дроби забывают, что сокращение множителей не возвращает запрещённые значения.
Считают, что при $k = 1$ или $k = -1$ пересечение существует, хотя соответствующие точки являются выколотыми.
Не рассматривают отдельно случай $k = 0$.