Решение: График с модулем и параметром
Постройте график функции $y=\dfrac{3|x|-1}{|x|-3x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
10 шаговНайдём область определения функции. Знаменатель не должен обращаться в ноль:
$$|x|-3x^2\ne0$$Уравнение $|x|-3x^2=0$ даёт $x=0$ или $|x|=\dfrac13$. Поэтому $x\ne0$, $x\ne\pm\dfrac13$.
При $x>0$ имеем $|x|=x$, поэтому
$$y=\frac{3x-1}{x-3x^2}=\frac{3x-1}{x(1-3x)}=-\frac1x,\quad x>0,\ x\ne\frac13$$При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому
$$y=\frac{-3x-1}{-x-3x^2}=\frac{3x+1}{x(1+3x)}=\frac1x,\quad x<0,\ x\ne-\frac13$$Таким образом, график состоит из двух ветвей гиперболы $y=-\dfrac1{|x|}$. Точка $x=0$ является вертикальной асимптотой, а $y=0$ — горизонтальной асимптотой. Из графика удалены точки
$$\left(\frac13,-3\right)\text{ и }\left(-\frac13,-3\right)$$Для пересечения с прямой $y=kx$ при $x>0$ получаем
$$-\frac1x=kx\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac1{x^2}$$При $x>0$ это возможно для любого $k<0$, кроме $k=-9$, поскольку при $k=-9$ единственная точка пересечения имеет абсциссу $x=\dfrac13$ и удалена из графика.
При $x<0$ получаем
$$\frac1x=kx\quad\Longrightarrow\quad k=\frac1{x^2}$$При $x<0$ это возможно для любого $k>0$, кроме $k=9$, поскольку при $k=9$ единственная точка пересечения имеет абсциссу $x=-\dfrac13$ и удалена из графика.
При $k=0$ прямая совпадает с осью $Ox$, но график функции не пересекает эту ось.
$k\in\{-9,0,9\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения области определения $x=0$ и $x=\pm\dfrac13$.
Считать, что после сокращения исходная функция совпадает с гиперболой во всех точках.
Забыть удалённые точки $\left(\frac13,-3\right)$ и $\left(-\frac13,-3\right)$.
Рассматривать только положительные или только отрицательные значения $k$.