Решение: График дробно-рациональной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{7x - 10}{7x^2 - 10x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговРазложим знаменатель на множители:
$$7x^2 - 10x = x(7x - 10)$$При $x \ne 0$ и $x \ne \dfrac{10}{7}$ сократим общий множитель $7x - 10$:
$$y = \dfrac{7x - 10}{x(7x - 10)} = \dfrac{1}{x}$$Следовательно, график — гипербола $y = \dfrac{1}{x}$, но точка с абсциссой $x = \dfrac{10}{7}$ удалена. Её ордината равна:
$$y = \dfrac{1}{10/7} = \dfrac{7}{10}$$Для поиска общих точек с прямой $y = kx$ решаем уравнение:
$$\dfrac{1}{x} = kx \quad \Longleftrightarrow \quad kx^2 = 1$$При $k > 0$ уравнение имеет два противоположных корня. Ровно одна общая точка останется только тогда, когда один корень совпадёт с исключённым значением $x = \dfrac{10}{7}$:
$$k\left(\dfrac{10}{7}\right)^2 = 1$$Отсюда находим значение параметра:
$$k = \dfrac{49}{100}$$При $k \le 0$ уравнение $kx^2 = 1$ не имеет подходящих действительных решений, поэтому других значений параметра нет.
$k = \dfrac{49}{100}$; график — гипербола $y = \dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $\left(\dfrac{10}{7}, \dfrac{7}{10}\right)$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x \ne 0$ и $x \ne \dfrac{10}{7}$ после сокращения дроби.
Изобразить полную гиперболу $y = \dfrac{1}{x}$ без выколотой точки.
Считать, что при любом $k > 0$ прямая имеет ровно одну общую точку.
Забыть проверить, что один из корней уравнения пересечения попадает в исключённую точку.