Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} -x^2 + 8x - 17, & \text{при } x \ge 2, \\ -x - 2, & \text{при } x < 2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговПреобразуем квадратный трёхчлен:
$$-x^2 + 8x - 17 = -(x - 4)^2 - 1$$Первая часть графика — ветвь параболы с вершиной в точке $(4; -1)$, построенная только при $x \ge 2$. При $x = 2$ получаем точку $(2; -5)$, включённую в график.
Вторая часть — луч прямой $y = -x - 2$ при $x < 2$. Точка $(2; -4)$ не принадлежит этому лучу и изображается выколотой.
Для параболы уравнение пересечения с прямой $y = m$ имеет вид:
$$m = -(x - 4)^2 - 1$$Если $-5 \le m < -1$, горизонтальная прямая пересекает заданную часть параболы в двух точках. При $m = -1$ имеется одна точка — вершина параболы. При $m < -5$ остаётся только правая точка пересечения, поскольку левая имеет $x < 2$.
С лучом $y = -x - 2$ пересечение существует при $x = -m - 2 < 2$, то есть при $m > -4$. При $m = -4$ пересечение приходится на выколотую точку $(2; -4)$ и не учитывается.
Ровно две общие точки получаются при $-5 \le m \le -4$: две точки на параболе, и при $m = -1$: одна точка на параболе и одна на луче.
$m \in [-5; -4] \cup \{-1\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают точку $(2; -4)$ на луче, хотя условие $x < 2$ исключает её.
Забывают, что левая ветвь параболы ограничена условием $x \ge 2$.
Считают касание в вершине двумя точками.
Не учитывают отдельное пересечение прямой $y = m$ с линейной частью графика.