Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y=\begin{cases}-x^2-2x+2, & x\geq -3,\\-x-2, & x<-3.\end{cases}$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
9 шаговПервую часть функции представим в виде параболы с вершиной:
$$y=-x^2-2x+2=-(x+1)^2+3$$Вершина параболы находится в точке $(-1;3)$. Из-за условия $x\geq -3$ левая граница этой части графика — точка $(-3;-1)$, так как:
$$y(-3)=-(-3)^2-2(-3)+2=-1$$На промежутке $[-3;-1]$ парабола возрастает от $-1$ до $3$, а на промежутке $[-1;+\infty)$ убывает от $3$ до минус бесконечности.
Вторая часть является лучом прямой $y=-x-2$ при $x<-3$. При приближении к $x=-3$ слева значение $y$ стремится к $1$, но значение $1$ не достигается. Поэтому эта часть имеет значения $y>1$.
При $m<-1$ горизонтальная прямая пересекает параболу в одной точке. При $m=-1$ она пересекает параболу в двух точках, одна из которых имеет абсциссу $-3$.
При $-1<m\leq 1$ горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках, а луч прямой $y=-x-2$ дополнительных пересечений не даёт.
При $1<m<3$ имеются два пересечения с параболой и одно пересечение с линейной частью, то есть всего три точки.
При $m=3$ горизонтальная прямая касается параболы в её вершине и пересекает линейную часть в одной точке, поэтому всего получается две общие точки.
При $m>3$ пересечение с параболой отсутствует, а с линейной частью имеется только одна точка.
$m\in[-1;1]\cup\{3\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\geq -3$ и $x<-3$.
Считать точку с координатами $(-3;1)$ принадлежащей линейной части графика.
Забывать, что при $m=3$ горизонтальная прямая касается параболы в вершине.
Считать касание одной точкой и не учитывать дополнительное пересечение с лучом прямой.