Решение: График функции и параметр
Постройте график функции $y = \dfrac{(0{,}5x^2 - 2x) \cdot |x|}{x - 4}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
5 шаговНайдём область определения исходной функции: знаменатель не должен обращаться в ноль.
$$x - 4 \ne 0,\quad x \ne 4$$Разложим числитель на множители и сократим дробь при условии $x \ne 4$.
$$y = \dfrac{0{,}5x(x - 4)|x|}{x - 4} = 0{,}5x|x|$$Раскроем модуль. При $x < 0$ имеем $|x| = -x$, а при $x \ge 0$ имеем $|x| = x$.
$$y = \begin{cases} -0{,}5x^2, & x < 0, \\ 0{,}5x^2, & x \ge 0, \end{cases}\quad x \ne 4$$Следовательно, график состоит из левой ветви параболы $y = -0{,}5x^2$ при $x < 0$ и правой ветви параболы $y = 0{,}5x^2$ при $x \ge 0$. В точке с абсциссой $x = 4$ должна быть выколотая точка.
$$y(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 = 8$$Обычный график $y = 0{,}5x|x|$ принимает все действительные значения. Уровень $y = 8$ достигается только при $x = 4$, но эта точка исключена из области определения. Поэтому прямая $y = 8$ не пересекает график.
График задаётся формулой $y = -0{,}5x^2$ при $x < 0$ и $y = 0{,}5x^2$ при $x \ge 0$, при этом точка $(4; 8)$ выколота. Прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком только при $m = 8$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x \ne 4$, возникшее из исходного знаменателя.
После сокращения считать точку $(4; 8)$ принадлежащей графику.
Указать все положительные значения $m$ вместо единственного значения $m = 8$.