Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(0{,}5x^2+0{,}5x)\cdot|x|}{x+1}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
7 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $x+1\ne0$, то есть $x\ne-1$.
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$Числитель можно разложить на множители:
$$0{,}5x^2+0{,}5x=0{,}5x(x+1)$$При $x\ne-1$ сокращаем множитель $x+1$:
$$y=\frac{0{,}5x(x+1)|x|}{x+1}=0{,}5x|x|$$Раскрывая модуль, получаем кусочную функцию:
$$y=\begin{cases}-0{,}5x^2, & x<0,\\0{,}5x^2, & x\ge0,\end{cases}\quad x\ne-1$$График состоит из левой ветви параболы $y=-0{,}5x^2$ при $x<0$ и правой ветви параболы $y=0{,}5x^2$ при $x\ge0$. В точке с абсциссой $x=-1$ должна была быть точка $(-1;-0{,}5)$, но она удалена из графика.
Множество значений левой ветви — все отрицательные числа, кроме $-0{,}5$, поскольку значение $-0{,}5$ достигается только при $x=-1$. Правая ветвь принимает все значения от $0$ до бесконечности.
$$E(y)=(-\infty;0)\setminus\{-0{,}5\}\cup[0;+\infty)=\mathbb{R}\setminus\{-0{,}5\}$$Прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда число $m$ не принадлежит множеству значений функции.
$$m=-0{,}5$$$m=-0{,}5$. График: $y=-0{,}5x^2$ при $x<0$ и $y=0{,}5x^2$ при $x\ge0$, при этом точка $(-1;-0{,}5)$ является выколотой.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne-1$ после сокращения дроби.
Изобразить точку $(-1;-0{,}5)$ как принадлежащую графику.
Считать, что после сокращения область определения становится всей числовой прямой.
Неверно раскрыть выражение $x|x|$ при отрицательных значениях $x$.