Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=x^2-9x-2|x-4|+20$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем знак модуля. При $x<4$ имеем $|x-4|=4-x$, поэтому
$$y=x^2-9x-2(4-x)+20=x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$При $x\geqslant4$ имеем $|x-4|=x-4$, поэтому
$$y=x^2-9x-2(x-4)+20=x^2-11x+28=(x-4)(x-7)$$Левая часть графика — ветвь параболы $y=x^2-7x+12$ при $x<4$. Её вершина имеет координаты $\left(\dfrac{7}{2},-\dfrac{1}{4}\right)$, но из-за ограничения $x<4$ фактический минимум на этой ветви достигается в вершине и равен $-\dfrac{1}{4}$.
$$y\left(\dfrac{7}{2}\right)=\dfrac{49}{4}-\dfrac{49}{2}+12=-\dfrac{1}{4}$$Правая часть графика — ветвь параболы $y=x^2-11x+28$ при $x\geqslant4$. Её вершина имеет координаты $\left(\dfrac{11}{2},-\dfrac{9}{4}\right)$.
Для $m=-1$ левая ветвь пересекается с прямой $y=-1$ в одной точке, а правая — в двух точках, поэтому всего получается три точки.
Для $m=0$ левая ветвь пересекается с прямой в точке $x=3$; корень $x=4$ не относится к условию $x<4$. Правая ветвь пересекается с прямой в точках $x=4$ и $x=7$. Итого снова три точки.
При остальных значениях $m$ число общих точек не равно трём: ниже минимума правой ветви пересечений недостаточно, между уровнями минимумов получается другое число пересечений, а при $m>0$ на каждой части остаётся не более одной точки.
$m=-1$ или $m=0$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<4$ и $x\geqslant4$ после раскрытия модуля.
Считать точку $x=4$ принадлежащей левой ветви.
Не проверять отдельно значение $m=0$, при котором график проходит через точку $(4,0)$.
Неверно находить вершину параболы $y=x^2-7x+12$.