Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=|x|(x+1)-6x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль по определению. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, а при $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$.
$$y=\begin{cases}-x(x+1)-6x=-x^2-7x, & x<0,\\ x(x+1)-6x=x^2-5x, & x\geqslant 0.\end{cases}$$Левая часть графика является ветвью параболы, направленной вниз. Её вершина имеет абсциссу $x=-\dfrac{7}{2}$ и ординату $\dfrac{49}{4}$.
$$y=-\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{4}$$Правая часть графика является ветвью параболы, направленной вверх. Её вершина имеет абсциссу $x=\dfrac{5}{2}$ и ординату $-\dfrac{25}{4}$.
$$y=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}$$Для $m=-\dfrac{25}{4}$ горизонтальная прямая касается правой параболы в её вершине и пересекает левую ветвь в одной точке. Всего получается две общие точки.
$$m=-\frac{25}{4}$$Для $m=\dfrac{49}{4}$ горизонтальная прямая касается левой параболы в её вершине и пересекает правую ветвь в одной точке. Всего также получается две общие точки.
$$m=\frac{49}{4}$$При остальных значениях $m$ число общих точек не равно двум: либо одна, либо три точки.
m=-\dfrac{25}{4} или m=\dfrac{49}{4}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют функцию на случаи $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Учитывают только вершину одной из парабол.
Забывают проверить количество пересечений с другой ветвью.
Ошибочно считают точку $x=0$ дважды.