Решение: График с модулем
Постройте график функции $y=2|x-5|-x^2+11x-30$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
8 шаговРаскроем модуль по определению.
$$y=\begin{cases}-x^2+9x-20,&x<5,\\-x^2+13x-40,&x\geqslant5.\end{cases}$$Для левой ветви выделим полный квадрат.
$$y=-(x-\frac92)^2+\frac14,\quad x<5$$Левая ветвь — часть параболы, направленной вниз, с вершиной $\left(\frac92,\frac14\right)$. Она пересекает ось $Ox$ в точке $(4,0)$, а при $x\to5-0$ стремится к точке $(5,0)$, которая к этой ветви не относится.
Для правой ветви выделим полный квадрат.
$$y=-(x-\frac{13}{2})^2+\frac94,\quad x\geqslant5$$Правая ветвь — часть параболы с вершиной $\left(\frac{13}{2},\frac94\right)$. Она проходит через точку $(5,0)$ и пересекает ось $Ox$ также в точке $(8,0)$.
Рассмотрим количество пересечений с прямой $y=m$. При $m<0$ каждая ветвь даёт по одной точке, всего две. При $m=0$ получаются точки $(4,0)$, $(5,0)$ и $(8,0)$ — всего три.
При $0<m<\frac14$ левая ветвь даёт две точки, а правая — две, всего четыре. При $m=\frac14$ левая ветвь касается прямой в вершине, а правая пересекает её в двух точках, всего три.
При $\frac14<m<\frac94$ пересечения есть только с правой ветвью и их два, а при $m=\frac94$ остаётся одна точка касания. Следовательно, ровно три общие точки возникают только при двух значениях $m$.
$m=0$ или $m=\frac14$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что левая формула действует только при $x<5$, а правая — при $x\geqslant5$.
Считать точку $(5,0)$ принадлежащей обеим ветвям.
Не рассматривать отдельно уровни, проходящие через вершины парабол.
Указать только количество пересечений, но не обосновать построение графика.