Решение: График кусочной функции
Постройте график функции
$y=\begin{cases}2{,}5x-1, & x<2,\\-3{,}5x+11, & 2\le x\le 3,\\x-1, & x>3.\end{cases}$
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговПостроим первую часть графика $y=2{,}5x-1$ при $x<2$. При $x\to2-$ значение функции стремится к $4$, но точка с координатами $(2;4)$ для этой части не принадлежит графику. Поэтому первая часть принимает все значения $y<4$.
Для второй части $y=-3{,}5x+11$ на отрезке $2\le x\le3$: $y(2)=4$, $y(3)=0{,}5$. Эта часть принимает все значения $0{,}5\le y\le4$, причём оба конца включены.
Для третьей части $y=x-1$ при $x>3$ имеем $y>2$. Точка $(3;2)$ не принадлежит этой части.
Если $0{,}5\le m<2$, прямая $y=m$ пересекает первую и вторую части, то есть имеет две общие точки.
При $m=2$ прямая пересекает первую и вторую части. Третья часть не даёт точки пересечения, поскольку условие $x>3$ эквивалентно $y>2$.
При $2<m<4$ прямая пересекает все три части, поэтому общих точек три.
При $m=4$ первая часть не даёт пересечения, поскольку значение $y=4$ достигается только при $x=2$, а условие первой части — $x<2$. Вторая часть содержит точку $(2;4)$, а третья пересекается с прямой в точке $(5;4)$. Поэтому общих точек ровно две.
m\in[0{,}5;2]\cup\{4\}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $(2;4)$ в первой части графика, хотя условие там $x<2$.
Считать точку $(3;2)$ принадлежащей третьей части, хотя условие третьей части $x>3$.
Не учитывать, что при $2<m<4$ горизонтальная прямая пересекает все три части графика.