Решение: График дробно-рациональной функции
Постройте график функции $y = \dfrac{x - 3}{x^2 - 3x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговРазложим знаменатель на множители и определим область определения:
$$x^2 - 3x = x(x-3),\quad x \ne 0,\ x \ne 3$$Сократим дробь при допустимых значениях $x$:
$$y = \frac{x-3}{x(x-3)} = \frac{1}{x},\quad x \ne 0,\ x \ne 3$$График — гипербола $y = \dfrac{1}{x}$ с асимптотами $x=0$ и $y=0$, из которой удалена точка, соответствующая $x=3$:
$$\left(3;\frac{1}{3}\right)$$Найдём точки пересечения с прямой $y=kx$. Приравниваем значения функций:
$$\frac{1}{x}=kx\quad\Longrightarrow\quad kx^2=1$$При $k<0$ уравнение $kx^2=1$ не имеет действительных решений, а при $k=0$ решений также нет. При $k>0$ имеются два корня $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{k}}$, кроме случая, когда один из них удалён из графика.
Удалённая точка имеет абсциссу $x=3$. Она является одним из корней уравнения пересечения, если:
$$k\cdot 3^2=1\quad\Longrightarrow\quad 9k=1\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{9}$$При $k=\dfrac{1}{9}$ корни уравнения — $x=3$ и $x=-3$. Точка с $x=3$ отсутствует на графике, поэтому остаётся ровно одна общая точка.
График — гипербола $y=\dfrac{1}{x}$ с выколотой точкой $(3;\,\dfrac{1}{3})$. Прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку при $k=\dfrac{1}{9}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничения $x \ne 0$ и $x \ne 3$ после сокращения дроби.
Считают, что при любом $k>0$ имеется ровно одна точка пересечения, хотя обычно точек две.
Не учитывают выколотую точку $(3;\,\dfrac{1}{3})$.