Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4, & x\geq -5,\\ -\dfrac{45}{x}, & x<-5,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Решение по шагам
5 шаговПервую часть функции представим в виде $y=(x+2)^2$. Это парабола с вершиной $(-2;0)$ и осью симметрии $x=-2$, рассматриваемая только при $x\geq -5$. В точке $x=-5$ она имеет значение $y=9$, поэтому точка $(-5;9)$ принадлежит графику.
$$y=x^2+4x+4=(x+2)^2$$Вторая часть — ветвь гиперболы $y=-\dfrac{45}{x}$ при $x<-5$. На этом промежутке значения функции положительны, стремятся к $0$ при $x\to-\infty$ и к $9$ при $x\to-5-$. Значения $0$ и $9$ эта ветвь не принимает.
$$0< -\dfrac{45}{x}<9$$Для горизонтальной прямой $y=m$ на параболе решаем уравнение $(x+2)^2=m$. При $m=0$ имеется одна точка; при $0<m<9$ обе точки параболы допустимы; при $m=9$ допустимы точки с абсциссами $-5$ и $1$; при $m>9$ допустима только точка с абсциссой $-2+\sqrt m$.
$$x=-2\pm\sqrt m$$На гиперболе уравнение $-\dfrac{45}{x}=m$ имеет одну точку только при $0<m<9$, поскольку тогда $x=-\dfrac{45}{m}<-5$. При $m\leq0$ или $m\geq9$ точек на этой ветви нет.
Следовательно, при $m=0$ имеется одна общая точка, при $0<m<9$ — три общие точки, при $m=9$ — две общие точки, а при $m>9$ — одна общая точка.
Одна общая точка при $m=0$ или $m>9$; две общие точки при $m=9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывать точку $x=-5$ на гиперболе, хотя условие второй ветви — $x<-5$.
Считать, что при $0<m<9$ прямая имеет две точки пересечения, не учитывая пересечение с гиперболой.
Забыть ограничение $x\geq -5$ для параболы.