Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=1-\dfrac{x+5}{x^2+5x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение по шагам
6 шаговРазложим знаменатель на множители:
$$x^2+5x=x(x+5)$$Область определения исходной функции задаётся условиями $x\ne0$ и $x\ne-5$.
$$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-5,0\}$$При допустимых значениях $x$ сократим общий множитель $x+5$:
$$y=1-\dfrac{x+5}{x(x+5)}=1-\dfrac1x$$Основой графика является гипербола $y=1-\dfrac1x$. Её асимптоты имеют уравнения $x=0$ и $y=1$.
Из-за ограничения $x\ne-5$ на графике отсутствует точка, соответствующая $x=-5$:
$$y=1-\dfrac1{-5}=1+\dfrac15=\dfrac65$$Прямая $y=m$ не пересекает график при $m=1$, поскольку значение $y=1$ гипербола не принимает. При $m=\dfrac65$ единственная точка пересечения имела бы абсциссу $x=-5$, но эта точка выколота.
$m\in\left\{1;\dfrac65\right\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne-5$ после сокращения дроби.
Указывают только $m=1$, забывая о выколотой точке.
Считают точку $\left(-5;\dfrac65\right)$ принадлежащей графику.
Неверно определяют асимптоты гиперболы.