Решение: График дробно-модульной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{4}-\dfrac{4}{x}\right|+\dfrac{x}{4}+\dfrac{4}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
7 шаговОбласть определения функции: $x\ne 0$. Применим тождество для модуля:
$$\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$$Следовательно, исходная функция имеет вид:
$$y=\max\left(\frac{x}{4},\frac{4}{x}\right)$$При $x>0$ неравенство $\frac{x}{4}\geqslant\frac{4}{x}$ равносильно $x\geqslant4$. Поэтому на положительной полуоси:
$$y=\begin{cases}\frac{4}{x},&0<x\leqslant4,\\\frac{x}{4},&x\geqslant4.\end{cases}$$При $x<0$ знак при умножении на $x$ меняется, поэтому $\frac{x}{4}\geqslant\frac{4}{x}$ при $x\leqslant-4$. На отрицательной полуоси:
$$y=\begin{cases}\frac{x}{4},&x\leqslant-4,\\\frac{4}{x},&-4<x<0.\end{cases}$$График состоит из двух частей прямой $y=\frac{x}{4}$ и двух частей гиперболы $y=\frac{4}{x}$. Точки соединения: $(-4,-1)$ и $(4,1)$.
Для $m<-1$ прямая $y=m$ пересекает график в двух точках: одну даёт прямая, другую — гипербола. При $m=-1$ имеется только точка $(-4,-1)$.
Для $-1<m<1$ пересечений нет. При $m=1$ имеется только точка $(4,1)$. Для $m>1$ прямая пересекает график в двух точках.
$m\in\{-1;1\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать область определения $x\ne0$.
Неверно сравнивать дроби при отрицательных значениях $x$.
Считать точку $x=0$ принадлежащей графику.
Указать все значения $m$, при которых есть хотя бы одно пересечение, вместо значений с ровно одной общей точкой.