Решение: График модуля квадратичной функции
Постройте график функции $y = \left|x^2 - x - 2\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
6 шаговРассмотрим функцию $f(x) = x^2 - x - 2$. Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём его нули.
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1),\quad x=-1,\ x=2$$Парабола $y=x^2-x-2$ направлена ветвями вверх и расположена ниже оси абсцисс на промежутке $(-1;2)$. Поэтому при построении графика функции с модулем часть параболы ниже оси абсцисс отражается симметрично относительно оси абсцисс.
Для подсчёта числа пересечений с горизонтальной прямой рассмотрим прямую $y=c$, где $c\geq 0$. Точки пересечения удовлетворяют уравнению.
$$\left|x^2-x-2\right|=c$$Это равносильно совокупности двух уравнений.
$$x^2-x-2=c\quad\text{или}\quad x^2-x-2=-c$$Для первого уравнения дискриминант равен $D_1=9+4c$, поэтому при любом $c\geq 0$ оно имеет два различных корня. Для второго уравнения дискриминант равен $D_2=9-4c$. При $0<c<2$ он положителен, поэтому второе уравнение также имеет два различных корня.
Следовательно, при любом уровне $0<c<2$ горизонтальная прямая пересекает график в четырёх точках. При $c=0$ имеются только два пересечения, при $c=2$ — три, а при $c>2$ — два.
Наибольшее число общих точек равно $4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают часть параболы, расположенную ниже оси абсцисс.
Считают, что горизонтальная прямая может пересекать каждую ветвь только один раз, не рассматривая оба уравнения.
Не учитывают условие $0<c<2$, при котором оба квадратных уравнения имеют по два корня.