Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+4x+4, & x\ge -4,\\ -\dfrac{16}{x}, & x<-4.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Решение по шагам
4 шагаПервую часть функции преобразуем: $x^2+4x+4=(x+2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-2;0)$, из которой берётся только часть при $x\ge -4$. Граничная точка имеет координаты $(-4;4)$.
$$y=(x+2)^2,\quad x\ge -4$$Для горизонтальной прямой $y=m$ точки пересечения с параболой находятся из уравнения $(x+2)^2=m$. При $m<0$ решений нет, при $m=0$ одна точка. При $0<m<4$ обе корня удовлетворяют условию $x\ge -4$, а при $m=4$ получаем точки $(-4;4)$ и $(0;4)$. При $m>4$ левый корень меньше $-4$, поэтому остаётся одна точка.
$$x=-2\pm\sqrt m$$Вторая часть — левая ветвь гиперболы $y=-\dfrac{16}{x}$ при $x<-4$. Уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид $x=-\dfrac{16}{m}$. Условие $x<-4$ выполняется тогда и только тогда, когда $0<m<4$.
$$-\dfrac{16}{m}<-4\iff 0<m<4$$При $0<m<4$ гипербола добавляет одну точку к двум точкам параболы, поэтому всего получается три точки. При $m=4$ гипербола точек не даёт, а парабола даёт две точки. При $m=0$ имеется одна точка параболы, а при $m>4$ — также одна точка параболы.
$$N(m)=\begin{cases}1,&m=0\text{ или }m>4,\\2,&m=4,\\3,&0<m<4,\\0,&m<0.\end{cases}$$Одна общая точка: $m=0$ или $m>4$. Две общие точки: $m=4$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x\ge -4$ и $x<-4$.
Считать точку $(-4;4)$ принадлежащей гиперболе.
Забыть, что при $0<m<4$ прямая пересекает обе части графика и имеет три общие точки.